In de wiskunde is een stelsel orthogonale polynomen een rij polynomen van toenemende graad die onderling orthogonaal zijn met betrekking tot een of ander inproduct. Veel gebruikte polynomen zijn de hermite-polynomen, laguerre-polynomen, legendre-polynomen, jacobi-polynomen en de chebyshev-polynomen. Orthogonale polynomen treden op als oplossingen van speciale differentiaalvergelijkingen en vinden toepassing in numerieke benaderingen van integralen.

Definitie Een stelsel polynomen , waarin een polynoom van de graad is, heet orthogonaal op het interval met betrekking tot de gewichtsfunctie , als voor geldt:

Als de polynomen genormeerd zijn, dat wil zeggenn

dan heet het stelsel orthonormaal:

met de kroneckerdelta, dus 1 als en 0 .

Constructie Een stelsel orthogonale polynomen kan geconstrueerd worden door orthogonalisering van de rij eentermen met behulp van de gram-schmidtmethode.

De coëfficiënten van het polynoom uit een orthogonaal stelsel volgen, op een schaalfactor na, ook uit de eis dat orthogonaal moet zijn met de voorgaande polynomen .

Voorbeeld Een orthogonaal stelsel voor het interval en gewichtsfunctie wordt bepaald door:

, want , dus , want , dus . , dus . Enzovoort, steeds is 1 als coëfficiënt van de hoogste macht gekozen.

De berekeningen kunnen worden vereenvoudigd door de constatering dat vanwege de orthogonaliteit met , voor alle overige polynomen geldt:

vanwege de orthogonaliteit met en , alle polynomen alleen uit even machten of alleen oneven machten van bestaan.

Zo krijgt men: , want , dus .

Met de gram-schmidtmethode, met het inproduct

krijgt men:

, want

, want , en

Voorbeelden van orthogonale stelsels {| class="wikitable" style="text-align:center";

|+ Tabel

!colspan=2|Integratiegrenzen ! gewichtsfunctie ! polynomen

| legendre-polynoom

| jacobi-polynoom

| chebyshev-polynoom eerste soort

| chebyshev-polynoom tweede soort

| hermite-polynoom

| laguerre-polynoom

| geassocieerd laguerre-polynoom

De coëfficiënten van de polynomen en van hun afgeleiden zijn evenals hun nulpunten in een tabel te vinden.

Categorie:Veelterm