mini|Dirichletsche Betafunktion β(s) Die dirichletsche Betafunktion, geschrieben mit dem griechischen Buchstaben , ist eine spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine Rolle spielt. Sie bildet z. B. die Grundlage für die analytische Theorie der Verteilung der Primzahlen in den arithmetischen Folgen und arxiv: Prime Number Races und ist verwandt mit der riemannschen Zeta-Funktion.
Benannt wurde sie nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859).
Definition Für eine komplexe Zahl , deren Realteil größer als 0 ist, ist die Beta-Funktion definiert über die Dirichletreihe:
Obwohl dieser Ausdruck nur auf der rechten Halbebene konvergiert, stellt er die Basis für alle weiteren Darstellungen der Beta-Funktion dar. Zur Berechnung der Beta-Funktion für alle Zahlen der komplexen Ebene bedient man sich ihrer analytischen Fortsetzung.
Produktdarstellung Für die Betafunktion existiert eine Produktdarstellung, die für alle komplexen , deren Realteil größer als 1 ist, konvergiert.
Hierbei impliziert , dass über alle Primzahlen der Form (also ) multipliziert wird. Analog bedeutet , dass über alle Primzahlen, welche die Form besitzen (also ), multipliziert wird.
Funktionalgleichung Für alle gilt die Funktionalgleichung:
Hierbei ist die Gammafunktion.
Sie dehnt den Definitionsbereich der Beta-Funktion auf die gesamte komplexe Zahlenebene aus.
Weitere Darstellungen
Über die Mellin-Transformation der Funktion erhält man die Integraldarstellung:
wobei wieder die Gammafunktion bezeichnet.
Zusammen mit der hurwitzschen Zetafunktion erhält man für alle komplexen die Relation:
Eine andere gleichwertige Darstellung für alle komplexen schließt die transzendente lerchsche Zeta-Funktion ein und lautet:
Ebenso kann die Dirichletsche Betafunktion mit Hilfe der Abel-Plana-Formel für alle komplexen Zahlen beschrieben werden:
Diese Formel geht aus folgendem Grundmuster hervor:
Nach der Eulerschen Formel gilt dieser Zusammenhang:
Über die Perronsche Formel und den Zusammenhang der Dirichletschen Betafunktion mit der Dirichletschen L-Funktion erhält man die folgende Integraldarstellung:
wobei die Abrundungsfunktion bezeichnet.
Spezielle Werte Einige spezielle Werte der -Funktion sind
Hierbei bezeichnet die catalansche Konstante und ist die dritte Polygammafunktion.
Allgemein gilt für positive ganze Zahlen die Darstellung:
wobei die -te Euler-Zahl ist. Im Fall gilt
Insbesondere gilt für natürliche :
Erzeugungsalgorithmus Zur Ermittlung der Dirichletschen Betafunktionswerte von ungeraden Zahlen dienen auch folgende zwei Formeln:
Die Dirichletsche Lambdafunktion ist das arithmetische Mittel aus Riemannscher Zetafunktion und Dirichletscher Etafunktion.
Auf diese Weise können kaskadenartig die Dirichletschen Betafunktionswerte hervorgebracht werden:
Ableitung Ein Ableitungsausdruck für alle ist gegeben durch:
Spezielle Werte der Ableitungsfunktion sind:
Mit den gezeigten Werten werden die Resultate der Kummerschen Reihe behandelt.
(vgl. und mit der Euler-Mascheroni-Konstante ).
Außerdem gilt für positive ganze Zahlen :
Weiteres Rivoal and Zudilin bewiesen 2003,Tanguy Rivoal, Wadim Zudilin: Diophantine properties of numbers related to Catalan's constant. In: Mathematische Annalen, Bd. 326 (2003), Nummer 4, Seiten 705–721, ; vgl. dass mindestens einer der Werte , , , , und irrational ist.
Außerdem bewiesen Guillera und Sondow 2005Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan Journal. An international Journal devoted to the areas of mathematics, Bd. 16 (2008), Nummer 3, Seiten 247–270, ; vgl. in arxiv folgende Formel:
Literatur
Niels Henrik Abel: Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies. Magazin for Naturvidenskaberne, Argang I, Bind2, Christina, 1823 Olver, Frank W. J.: Asymptotics and special functions. Reprint of the 1974 original. AKP Classics. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1997. ISBN 978-1-56881-069-0
Weblinks
Einzelnachweise
Kategorie:Analytische Funktion Kategorie:Peter Gustav Lejeune Dirichlet