Der Moivresche Satz, auch Satz von de Moivre oder Formel von de Moivre (nach Abraham de MoivreBraunmühl (1971), Teil 2, S. 75.) besagt, dass für jede komplexe Zahl und jede natürliche Zahl gilt:Kerner und Wahl (2013), S. 70. . Diese Formel verbindet die komplexen Zahlen mit der Trigonometrie, sodass die komplexen Zahlen trigonometrisch dargestellt werden können.
Geschichte Abraham de Moivre fand diesen Satz im ersten Jahrzehnt des 18. Jahrhunderts.Braunmühl (1971), Teil 2, S. 78. De Moivre selbst erhielt die Formel nach eigener Aussage von seinem Lehrer Isaac NewtonNahin, An imaginary tale, Princeton University Press 1998, S. 56. und verwendete sie in verschiedenen seiner Schriften, auch wenn er sie nie explizit niederschrieb (das tat erst Leonhard Euler 1748, Introductio in analysin infinitorum, wo er auch die Eulersche Formel aufstellte).
Herleitung Der Moivresche Satz kann mit der Eulerformel
der komplexen Exponentialfunktion und ihrer Funktionalgleichung
abgeleitet werden.
Ein alternativer Beweis ergibt sich aus der Produktdarstellung (siehe Additionstheoreme)
per vollständiger Induktion.
Anwendungen
Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl Der Moivresche Satz führt schnell zu einer Formel für die -ten Wurzeln einer komplexen Zahl: Jede komplexe Zahl hat genau -te Wurzeln, die gegeben sind durch
Manchmal wird auch diese Formel als Formel von de Moivre bezeichnet.
Verallgemeinerung Für ist
eine mehrwertige Funktion, aber nicht
Dadurch gilt
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Satz (Mathematik) Kategorie:Trigonometrie Kategorie:Funktionentheorie