Die Dougall-Ramanujan-Identität (auch Dougalls Summenformel genannt) ist eine fundamentale Identität aus der Theorie der hypergeometrischen Reihen. Sie gibt den Wert einer endlichen, speziellen 7F6-Reihe an. Die Formel wurde unabhängig voneinander von dem britischen Mathematiker John Dougall (1907) und dem indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan entdeckt.
Definition Die Identität beschreibt die Summation einer sogenannten „well-poised“ und „very-well-poised“ 7F6-Reihe. In der Notation des Pochhammer-Symbols (a)_n lautet sie:
Hierbei müssen die Parameter die Bedingung der „2-Balance“ erfüllen:
Bedeutung Die Dougall-Ramanujan-Identität ist von zentraler Bedeutung, da sie viele andere bekannte Summenformeln als Spezialfälle enthält, darunter:
Die Pfaff-Saalschütz-Identität (für 3F2-Reihen). Die Dixon-Identität (für 3F2-Reihen). Die Chu-Vandermonde-Identität.
In der modernen Physik findet die Identität Anwendung bei der Berechnung von 6j-Symbolen und 9j-Symbolen in der Quantenmechanik, welche die Kopplung von Drehimpulsen beschreiben.
Geschichte John Dougall veröffentlichte das Resultat 1907 in den Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. Srinivasa Ramanujan hielt die Formel unabhängig davon in seinen Notizbüchern fest. Sie stellt eine Verallgemeinerung der Whipple-Identität dar.
Literatur
George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy: Special Functions. Cambridge University Press, 1999, ISBN 0-521-78988-5. John Dougall: On Vandermonde's Theorem and some associated expansions. In: Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. Vol. 25, 1907, S. 114–132.
Weblinks
Einzelnachweise
Kategorie:Mathematik