In der freien Wahrscheinlichkeitstheorie ist die freie Poisson-Verteilung das Gegenstück zu der Poisson-Verteilung aus der üblichen Wahrscheinlichkeitstheorie.
Definition
Die freie Poisson-VerteilungLectures on the Combinatorics of Free Probability by A. Nica and R. Speicher, pp. 203–204, Cambridge Univ. Press 2006 mit Parametern und ergibt sich in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie als der Grenzwert der iterierten freien Faltung
für .
Genauer: Seien Zufallsvariable, so dass den Wert mit Wahrscheinlichkeit und den Wert 0 mit der Wahrscheinlichkeit annimmt. Sei weiterhin die Familie frei unabhängig im Sinne der freien Wahrscheinlichkeitstheorie. Dann ist die Verteilung von im Grenzwert durch eine freie Poisson-Verteilung mit den Parametern und gegeben.
Diese Definition ist analog zu einem entsprechenden Grenzwertsatz für die klassische Poisson-Verteilung bezüglich der klassischen Faltung.
Explizite Form
Explizit hat die freie Poisson-Verteilung folgende FormJames A. Mingo, Roland Speicher: Free Probability and Random Matrices. Fields Institute Monographs, Vol. 35, Springer, New York, 2017.
wobei
den Träger hat. Ihre freien Kumulanten sind gegeben durch .
Zusammenhang mit Zufallsmatrizen
Die freie Poisson-Verteilung taucht in der Theorie der Zufallsmatrizen als Marchenko-Pastur-Verteilung auf.
Einzelnachweise
Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung