Gleichmäßig glatte Räume werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um normierte Räume, deren Norm eine besondere Glattheitsbedingung erfüllt. Über eine Dualraumbeziehung hängen sie eng mit den gleichmäßig konvexen Räumen zusammen.

Definitionen Ein normierter Raum heißt glatt, wenn die Norm auf der Einheitssphäre Gâteaux-differenzierbar ist, das heißt, wenn für jedes und alle der Grenzwert

existiert. Das ist genau dann der Fall, wenn für jedes und

gilt.Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 5.5.1 Es ist nun naheliegend, Gleichmäßigkeitsbedingungen an die Existenz dieses Grenzwertes zu stellen. Man definiert daher den sogenannten Glattheitsmodul von

und nennt den Raum gleichmäßig glatt, falls

gilt.Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Definition 5.5.2 Das bedeutet also, dass der Ausdruck

nicht nur für alle gegen konvergiert, wenn , sondern sogar gleichmäßig auf .

Beispiele Innenprodukträume sind gleichmäßig glatt, denn mittels der Parallelogrammgleichung zeigt man leicht , woraus die gleichmäßige Glattheit folgt.Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kap. 3, §4, Beweis zu Korollar 1 zu Theorem 1' Die Lp-Räume für Maßräume mit positivem Maß sind gleichmäßig glatt, falls . Die Folgenräume für sind gleichmäßig glatt. Das ist ein Spezialfall des vorangegangenen Beispiels. Die Räume und sind nicht gleichmäßig glatt, sie sind noch nicht einmal glatt.Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 5.5.16 Es gibt eine Norm auf dem Folgenraum der Nullfolgen, bezüglich der dieser Raum glatt aber nicht gleichmäßig glatt ist.Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Beispiel 5.5.15

Eigenschaften Gleichmäßig glatte Räume sind glatt, denn obige Definition verschärft eine äquivalente Charakterisierung der Glattheit. Für endlichdimensionale Räume gilt auch die Umkehrung, für unendlichdimensionale Räume im Allgemeinen nicht. Gleichmäßig glatte Banachräume sind genau die Dualräume von gleichmäßig konvexen Banachräumen.Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 5.5.12 Insbesondere sind gleichmäßig glatte Räume reflexiv, denn gleichmäßig konvexe Räume sind nach dem Satz von Milman reflexiv. Unterräume und Quotienräume nach abgeschlossenen Unterräumen gleichmäßig glatter Räume sind wieder gleichmäßig glatt.Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Sätze 5.5.20, 5.5.22 Für glatte Räume hat man die Stützabbildung , die jedes auf das eindeutig bestimmte Stützfunktional abbildet. Diese Stützabbildung ist norm-schwach-*-stetig. Ein glatter Raum ist genau dann gleichmäßig glatt, wenn die Stützabbildung norm-norm-stetig ist.Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Sätze 5.5.20, 5.5.210

Einzelnachweise

Kategorie:Funktionalanalysis Kategorie:Normierter Raum