Der Satz von Erdős ist ein Lehrsatz der Mengenlehre, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er geht auf den bedeutenden ungarischen Mathematiker Paul Erdős zurück.
Formulierung Der Satz lässt sich angeben wie folgt:Sierpiński, S. 125. Sei die Mächtigkeit des Kontinuums mit bezeichnet. Sei weiter eine Teilmenge der reellen Koordinatenebene , welche die folgende Eigenschaft habe: Jede zur Abszissenachse parallele Gerade von schneide in nur endlich vielen Punkten. Dann gilt unter der Annahme der Gültigkeit des Auswahlaxioms die folgende Existenzaussage: Es gibt in eine zur Ordinatenachse parallele Gerade, welche die Komplementärmenge in Punkten schneidet.
Beweis Zur Herleitung eines Widerspruchs sei die Annahme getroffen, dass die behauptete Existenzaussage falsch sei.
D. h.: Es gilt als angenommen: Die Komplementärmenge wird von jeder Parallelen der Ordinatenachse in weniger als Punkten geschnitten.
Dies ist dann insbesondere richtig für diejenigen Parallelen, welche die Geradengleichung:
erfüllen.
Man hat also für alle .
Nun sei für .
Dann gilt
und folglich .
Daraus ergibt sich unter Anwendung des Satzes von KönigDer Satz von König benötigt zu seinem Beweis das Auswahlaxiom, weswegen dieses auch hier vorausgesetzt wird. .
Damit muss
sein.
Folglich existiert ein dergestalt, dass für alle
und damit
gilt.
Dies jedoch bedeutet, dass die zur Abszissenachse parallele Gerade
die Teilmenge in unendlich vielen Punkten schneidet, was im Widerspruch zu der vorausgesetzten Eigenschaft von steht.
Damit erweist sich die obige Annahme als unhaltbar und folglich gilt die Behauptung.
Zusammenhang mit einem Resultat von Sierpiński Der Satz von Erdős ist verbunden mit einem klassischen Theorem von Wacław Sierpiński aus dem Jahre 1919, welches auch als Zerlegungssatz von Sierpiński () bekannt ist.Komjáth, S. 460.
Es besagt folgendes:
Die einfache Kontinuumshypothese
ist logisch äquivalent mit der folgenden Aussage: Die reelle Koordinatenebene ist darstellbar als Vereinigungsmenge zweier Punktmengen mit der Eigenschaft, dass mit jeder beliebigen Parallelen der Abszissenachse und ebenso mit jeder beliebigen Parallelen der Ordinatenachse höchstens abzählbar unendlich viele Schnittpunkte gemeinsam haben.
Ausgehend von diesem Zerlegungssatz hat Erdős gezeigt, dass unter der verschärften Annahme der Gültigkeit der Verallgemeinerten Kontinuumshypothese sein obiger Satz auf Mengen einer Mächtigkeit verallgemeinert werden kann.Theorem 3. In: Michigan Mathematical Journal. Band 2, S. 170.
Siehe auch Kontinuumshypothese
Literatur MR0067170
MR0048517
Einzelnachweise und Fußnoten
Erdos, Satz von Kategorie:Paul Erdős