thumb|Vooraanzicht van de bol die weergeeft, met rotatie-assen en fundamenteel domein. De verbindende grote cirkels geven aan waar bij de spiegelvlakken de bol snijden. Alle rotatieassen die niet op de rand staan aangegeven, en de aangegeven grote cirkels, zijn ook van toepassing op dezelfde plaats aan de achterkant. 25px fundamenteel domein 20px tweevoudige rotatie-as 20px drievoudige rotatie-as 20px vijfvoudige rotatie-as De zwarte lijnen geven de spiegelvlakken aan. thumb|Cyclus 525323
Icosahedrale symmetrie is de symmetrie van verschillende regelmatige veelvlakken, dus een vorm van polyhedrale symmetrie. Icosahedraal wordt ook geschreven als icosaedraal of als icosaedrisch, al of niet met trema.
Er zijn twee vormen van icosahedrale symmetrie, maar het gaat in beide gevallen om polyhedrale symmetrie. Volledige icosahedrale symmetrie is de symmetrie van onder meer het regelmatige twaalfvlak of dodecaëder, het regelmatige twintigvlak of icosaëder en de als voetbal zeer bekende afgeknotte icosaëder. Chirale icosahedrale symmetrie is de symmetrie van onder meer de stompe dodecaëder en de vijfhoekige hexacontaëder. Deze twee lichamen zijn elkaars duale veelvlak. Er komen van beide lichamen twee chirale vormen voor, dus twee verschillende lichamen die wel elkaars spiegelbeeld zijn, maar niet gelijk aan hun eigen spiegelbeeld. Volledige icosahedrale symmetrie is met spiegeling en heeft symmetriegroep van orde 120. Chirale icosahedrale symmetrie is zonder spiegeling en heeft symmetriegroep van orde 60. Een regelmatig veelvlak en het duale veelvlak ervan hebben dezelfde polyhedrale symmetrie.
Beide symmetriegroepen hebben de volgende assen van rotatiesymmetrie met het volgende aantal punten waar ze het oppervlak van een convex object met icosahedrale symmetrie snijden. Hun aantal assen is steeds de helft, want elke as snijdt het oppervlak van zo'n object twee keer. 12 van orde 5. Ze gaan in de voorbeelden door de middens van vijfhoeken en tienhoeken, en door hoekpunten waar 5 gelijke hoeken samenkomen. 20 van orde 3. Ze gaan in de voorbeelden door de middens van driehoeken en zeshoeken, en door hoekpunten waar 3 gelijke hoeken samenkomen. 30 van orde 2. Ze gaan in de voorbeelden door de middens van ribben waar twee gelijke zijvlakken aan elkaar grenzen, de middens van zijvlakken die regelmatige veelhoeken met een even aantal hoeken zijn, de middens van ruiten, en hoekpunten waar vier gelijke hoeken samenkomen.
Het aantal maal de orde is steeds 60, de orde van .
De volledige versie heeft verder 15 spiegelvlakken. In termen van de orde van de gepasseerde rotatiepunten volgen de corresponderende grote cirkels de cyclus (525323), twee cycli voor een grote cirkel. Ze gaan gezamenlijk door alle rotatiepunten en wel zovaak als de orde is. De spiegelvlakken gaan in de voorbeelden loodrecht door de middens van ribben, langs ribben en door hoekpunten. Het fundamenteel domein is de driehoek 235, 1/120 deel van het veelvlak. Het bekijken van het fundamenteel domein kan het overzichtelijker maken om figuren met een bepaalde symmetrie te onderscheiden en vergelijken.
is algebraïsch de alternerende groep , de even permutaties van 5 elementen. De 20 hoekpunten van een twaalfvlak kunnen namelijk, op twee manieren, over 5 groepen van 4 worden verdeeld, die elk de hoekpunten vormen van een viervlak. De elementen van corresponderen 1-op-1 met de even permutaties van de 5 viervlakken. , dus algebraïsch .
Tetrahedrale en octahedrale symmetrie zijn twee andere vormen van polyhedrale symmetrie. Alle zijvlakken van de hier behandelde veelvlakken zijn regelmatige veelhoeken.
Veelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie Twee regelmatige veelvlakken Er zijn twee regelmatige veelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie:Het gaat bij de hier afgebeelde figuren om de vorm, als de kleuren in aanmerking worden genomen is er minder symmetrie.
Nederlandse naam Griekse naam Afbeelding Hoekpunten per vlak Vlakken per hoekpunt Vlakken Ribben Hoekpunten Schläfli-symbool Symmetriegroep regelmatig twaalfvlak dodecaëder 50px|Dodecahedron 5 3 12 30 20 {5, 3} regelmatig twintigvlak icosaëder 50px|Icosahedron 3 5 20 30 12 {3, 5}
Vijf archimedische lichamen Er zijn vijf archimedische lichamen met volledige icosahedrale symmetrie. De bolvormige variant van de afgeknotte icosaëder is zeer bekend als voetbal.
Naam (hoekpuntconfiguratie) Afbeelding Openvouwing Vlakken Soort vlakken Ribben Hoekpunten Symmetriegroep icosidodecaëder (3.5.3.5) 60px|Icosidodecahedron 80px 32 20 driehoeken 12 vijfhoeken 60 tussen een driehoek en een vijfhoek Het veelvlak is quasiregelmatig, dat wil zeggen dat het ook ribbetransitief is. 30 afgeknotte dodecaëder (3.10.10) 60px|Truncated dodecahedron 80px 32 20 driehoeken 12 tienhoeken 90 60 tussen een driehoek en een tienhoek en 30 tussen een twee tienhoeken 60 afgeknotte icosaëder (5.6.6) 60px|Truncated icosahedron 90px 32 12 vijfhoeken 20 zeshoeken 90 60 tussen een vijfhoek en een zeshoek en 30 tussen een twee zeshoeken 60 rombische icosidodecaëder of kleine rombische icosidodecaëder (3.4.5.4) 60px|Rhombicosidodecahedron 80px 62 20 driehoeken 30 vierkanten 12 vijfhoeken 120 60 tussen een vierhoek en een vijfhoek en 60 tussen een driehoek en een vierkant 60 afgeknotte icosidodecaëder of grote rombische icosidodecaëder (4.6.10) 60px|Truncated icosidodecahedron 80px 62 30 vierkanten 20 zeshoeken 12 tienhoeken 180 60 tussen een tienhoek en een zeshoek, 60 tussen een tienhoek en een vierkant en 60 tussen een vierkant en een driehoek 120
Een aanduiding van de hoekpuntconfiguratie 3.5.3.5 geeft in volgorde aan welke regelmatige veelhoeken bij elk hoekpunt samenkomen.
De laatste, met de meeste hoekpunten, heeft de bijzonderheid dat dit aantal gelijk is aan de orde van de symmetriegroep. Er is dus geen niet-triviale isometrie die een hoekpunt op zichzelf afbeeldt. De assen en spiegelvlakken gaan dus niet door hoekpunten. Het is dan ook de enige van de vijf veelvlakken met een hoekpuntconfiguratie waarvan de cyclus in omgekeerde richting anders is.
Vijf catalanlichamen Er zijn vijf catalanlichamen met volledige icosahedrale symmetrie.
naam afbeelding archimedisch lichaam openvouwing vlakken ribben hoekpunten symmetriegroep rombische triacontaëder 60px icosidodecaëder 60px 30 ruiten V3.5.3.5 60 Het veelvlak is ribbetransitief. 32 driehoekige icosaëder 60px afgeknotte dodecaëder 60px 60 gelijkbenige driehoeken V3.10.10 90 30 lange en 60 korte 32 pentakische dodecaëder 60px afgeknotte icosaëder 60px 60 gelijkbenige driehoeken V5.6.6 90 30 lange en 60 korte 32 deltaëdrische hexacontaëder 60px rombische icosidodecaëder 60px 60 vliegers V3.4.5.4 120 60 lange en 60 korte 62 disdyakische triacontaëder 60px afgeknotte icosidodecaëder 60px 120 bijna rechthoekige driehoeken V4.6.10 180 60 lange, 60 middellange en 60 korte 62
Een aanduiding als V3.5.3.5 geeft voor elke hoek van de veelhoek aan hoeveel daarvan samenkomen. De hoeken in het corresponderende bolvormige veelvlak zijn 360° gedeeld door het getal, de hoeken van de vlakke veelhoek zijn iets kleiner.
Conwayveelvlakken
Geodetische en goldbergveelvlakken + Constructie van {3,5+}6,0 uit {3,5+}1,0 320px + Constructie van {3,5+}3,3 uit {5+,3}1,0 via {3,5+}1,1 320px
Geodetische veelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie worden aangeduid als {3,5+}m,n met gehele getallen en , en , en (klasse I) of (klasse II). is het triangulatiegetal, gegeven door , dus met en . Ze kunnen worden geconstrueerd als in de figuur.
{3,5+}m,0 heeft hoekpunten, ribben en zijvlakken.
{3,5+}m,m heeft hoekpunten, ribben en zijvlakken.
Bij de geodetische veelvlakken in klasse I bestaat de verbindingslijn tussen twee nabije 5-valente hoekpunten uit ribben. In klasse II bevinden zich er driehoeken tussen. geeft aan met welke factor het aantal driehoeken wordt vermenigvuldigd ten opzichte van dat van het regelmatig twaalfvlak.
Er bestaan hiervan eenduidige duale veelvlakken, de goldbergveelvlakken, met vlakke zijvlakken en behoud van symmetrie. S Schein en JM Gayed voor PNAS. Fourth class of convex equilateral polyhedron with polyhedral symmetry related to fullerenes and viruses, 25 februari 2014. Gearchiveerd op 4 december 2021. Ze worden aangeduid als {5+,3}m,n.
Er geldt dus:
{5+,3}m,0 heeft zijvlakken, ribben en hoekpunten.
{5+,3}m,m heeft zijvlakken, ribben en hoekpunten.
Twee nabije vijfhoeken hebben bij de goldbergveelvlakken in klasse I hun zijden naar elkaar gekeerd, en ertussen bevinden zich zeshoeken. Nabije vijfhoeken in klasse II hebben hun hoeken naar elkaar gekeerd, en er zijn langs de verbindingslijn ribben en zeshoeken, om en om.
{5+,3}1,0 is een regelmatig veelvlak en {5+,3}1,1 een archimedisch lichaam, de zeshoeken zijn dus regelmatig. Bij de overige goldbergveelvlakken zijn alle zeshoeken of een deel ervan onregelmatig: de zijden zijn wel even lang, maar de hoeken zijn niet gelijk. Zo heeft bijvoorbeeld {5+,3}2,0 zeshoeken met twee hoeken van 116,6°, die waar drie zeshoeken samenkomen, en vier van 121,7°.Basic RGB. gearchiveerd
Uit {3,5+}m,0 wordt {3,5+}km,0 geconstrueerd volgens de eerste rij afbeeldingen. Uit {3,5+}m,m wordt dit {3,5+}km,km. Uit {5+,3}m,0 wordt {3,5+}m,m geconstrueerd door 12 vijfhoeken te verdelen in elk vijf driehoeken en zeshoeken in elk zes driehoeken, zodat er driehoeken ontstaan. Uit {5+,3}m,m ontstaat zo {3,5+}2m,0.
Hieronder volgt een tabel met geselecteerde geodetische veelvlakken en bijbehorende goldbergveelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie. De kolom Zijvlakkendriehoek geeft voor de geodetische veelvlakken de zijvlakken aan tussen drie nabije 5-valente hoekpunten. Voor de goldbergveelvlakken geven de hoekpunten van de gelijkzijdige driehoeken in de figuur de zijvlakken aan tussen en inclusief drie nabije vijfhoeken.
m n Klasse Hoekpunten (geodetisch) Zijvlakken (goldberg) Ribben Zijvlakken (geodetisch) Hoekpunten (goldberg) Zijvlakken- driehoekGeodetischGoldberg Symbolen Conway Afbeelding Symbolen Conway Afbeelding 1 0 1 I 12 30 20 60px {3,5} {3,5+}1,0 I 60px {5,3} {5+,3}1,0 GP5(1,0) D 60px 2 0 4 I 42 120 80 60px {3,5+}2,0 uI dcdI 60px {5+,3}2,0 GP5(2,0) cD 60px 3 0 9 I 92 270 180 60px {3,5+}3,0 xI ktI 60px {5+,3}3,0 GP5(3,0) yD tkD 60px 4 0 16 I 162 480 320 60px {3,5+}4,0 uuI dccD 60px {5+,3}4,0 GP5(4,0) c2D 60px 5 0 25 I 252 750 500 60px {3,5+}5,0 u5I u5I 60px {5+,3}5,0 GP5(5,0) c5D 60px 6 0 36 I 362 1080 720 60px {3,5+}6,0 uxI dctkdI 60px {5+,3}6,0 GP5(6,0) cyD ctkD 60px 7 0 49 I 492 1470 980 60px {3,5+}7,0 vI dwrwdI 60px {5+,3}7,0GP5(7,0) wD wrwD 60px 8 0 64 I 642 1920 1280 60px {3,5+}8,0 u3I dcccdI 60px {5+,3}8,0 GP5(8,0) cccD 60px 9 0 81 I 812 2430 1620 60px {3,5+}9,0 xxI ktktI 60px {5+,3}9,0 GP5(9,0) yyD tktkD 60px 10 0 100 I 1002 3000 2000 60px {3,5+}10,0 uu5I uu5I60px {5+,3}10,0 GP5(10,0) cc5D 60px 11 0 121 I 1212 3630 2420 60px {3,5+}11,0 u11I u11I60px {5+,3}11,0 GP5(11,0) c11D 12 0 144 I 1442 4320 2880 60px {3,5+}12,0 uuxD dcctkD 60px {5+,3}12,0 GP5(12,0) ccyD cctkD 60px 13 0 169 I 1692 5070 3380 60px {3,5+}13,0 u13I