De machtsverzameling van een verzameling , aangegeven door of , is de verzameling van alle deelverzamelingen van . Het symbool staat voor 'power', het Engelse woord voor 'macht'. De definitie is dus:
Voorbeelden Zij , dan is een deelverzameling van , evenals , enzovoort. De volledige lijst van deelverzamelingen van is: de lege verzameling
De machtsverzameling is de verzameling van deze deelverzamelingen:
Het binomium van Newton somt de kardinaliteit van de deelverzamelingen met elementen van een verzameling van elementen op. Dus is
Door ieder element van de machtsverzameling te associëren met de indicatorfunctie ervan ontstaat een bijectie tussen en , de verzameling van alle functies van naar het paar . Dit verklaart de notatie . De relatie 'is een deelverzameling van' vormt op een machtsverzameling een partiële ordening.
De twee machtsverzamelingen van twee verzamelingen met dezelfde kardinaliteit hebben ook dezelfde kardinaliteit. De machtsverzameling van een oneindige verzameling kan ook worden gedefinieerd. Tussen enerzijds de machtsverzameling van de natuurlijke getallen en anderzijds de reële getallen is een bijectie te vinden. Het kan met de diagonaalmethode van Cantor worden bewezen dat de kardinaliteit van de machtsverzameling van een oneindige verzameling altijd strikt groter is dan die van de verzameling zelf.
De machtsverzameling van de lege verzameling is een singleton, met als enige element de lege verzameling.
Het is mogelijk om aan te tonen dat er voor iedere eindige booleaanse algebra een verzameling is te vinden, zodat isomorf is met de machtsverzameling van . Dit is niet zo voor oneindige booleaanse algebra's, maar het is wel zo dat elke oneindige booleaanse algebra een deelalgebra van een machtsverzameling is van een booleaanse algebra.
Een dynkinsysteem is een deelverzameling van de machtsverzameling van een gegeven verzameling, die aan bepaalde voorwaarden voldoet.
Categorie:Verzamelingenleer