right|frame|De groene punt beweegt zich over de grafiek van de functie en de afgelegde weg van zijn projectie op de -as, de rode punt, is de totale variatie van de functie.
In de wiskunde is totale variatie een begrip in zowel de analyse als de maattheorie. Voor een reëelwaardige continue functie op een interval is de totale variatie de afgelegde weg van de projectie op de -as van een punt dat de grafiek van de functie doorloopt. Voor andere functies wordt dit begrip gegeneraliseerd.
Het begrip totale variatie van een functie van een reële variabele werd door Camille Jordan ingevoerd in een artikelVolgens uit 1881. Jordan gebruikte dit nieuwe begrip om een convergentiestelling te bewijzen voor fourierreeksen van discontinue periodieke functies van begrensde variatie.
Definitie De totale variatie van de reëelwaardige functie gedefinieerd op het interval is gedefinieerd als: ,
waarin het supremum wordt genomen over alle eindige verdelingen van het interval.
Begrensde variatie Functies waarvan de totale variatie eindig is, worden functies van begrensde variatie genoemd. Dergelijke functies kunnen populair gezegd niet willekeurig sterk oscilleren. De eigenschap hangt samen met de eigenschappen continuïteit en integreerbaarheid.
Voorbeelden thumb|350px|Functie van onbegrensde variatie
1. De begrensde variatie kan het best door een tegenvoorbeeld duidelijk worden gemaakt. De functie:
is op ieder interval met daarin 0, van onbegrensde variatie. De waarde van neemt voor onbegrensd toe, zodat de sinus van deze waarde onbegrensd tussen de waarden −1 en 1 oscilleert.
2. De functie
is op een interval met daarin 0 van onbegrensde variatie, hoewel de variatie enigszins door de factor wordt beperkt.
3. Door de variatie nog verder te beperken, zoals bij de functie ,
blijft de variatie begrensd. De functie is daarmee op ieder interval van begrensde variatie.
Totale variatie van een maat Laat een getekende maat zijn op de meetbare ruimte . Dan zijn er twee niet-negatieve maten en , gedefinieerd door
en ,
zo dat:
De variatie van , of absolute variatie, is de functie:
en de totale variatie van , aangeduid door , is de waarde van deze functie voor de hele ruimte:
Toepassing Totale variatie kan als een niet-negatieve reëelwaardige functionaal worden opgevat op de ruimte van reëelwaardige functies van één variabele of op de ruimte van integreerbare functies van meer variabelen. Als functionaal vindt de totale variatie toepassing in verscheidene takken van wiskunde en technische wetenschappen, zoals de numerieke wiskunde en variatierekening, waar de oplossing van een probleem de waarde van de functionaal moet minimaliseren. Voorbeelden zijn:
Numerieke analyse van differentiaalvergelijking waarin benaderingen worden gezocht voor oplossingen van differentiaalvergelijkingen Ruisreductie in beeldbewerking waarin methoden worden gebruikt om de ruis te verminderen in een beeld dat op elektronische wijze is gekregen.Caselles, Chambolle en Novaga, 2007
Categorie:Wiskundige analyse