De matrixmechanica is een formulering van de kwantummechanica die in 1925 werd opgesteld door Werner Heisenberg, Max Born en Pascual Jordan.
De matrixmechanica is een van de twee hoofdmethoden van de beschrijving van gekwantificeerde verschijnselen in de natuur. Het breidde het Bohr-model uit door te beschrijven hoe kwantumovergangen optreden. De matrixmechanica interpreteert fysische eigenschappen van deeltjes als matrices die in de tijd evolueren. De matrixmechanica, in haar moderne formulering ook wel bekend als het heisenbergbeeld, is equivalent aan de van Schrödinger afkomstige golfformulering van de kwantummechanica en ligt aan de basis van Diracs bra-ket notatie voor de golffunctie.
In tegenstelling tot de golfformulering, produceert het spectra van (meestal energie) operators door puur algebraïsche, ladder-operator, methoden. Zich baserend op deze methoden, heeft Pauli het waterstofatoomspectrum afgeleid in 1926, vóór de ontwikkeling van golfmechanica.
Ontwikkeling van matrixmechanica In 1925 formuleerden Werner Heisenberg, Max Born en Pascual Jordan de matrixmechanische representatie van de kwantummechanica.
Driekoningen in Helgoland In 1925 werkte Werner Heisenberg in Göttingen aan het probleem van het berekenen van de spectraallijnen van waterstof. In mei 1925 begon hij te proberen atoomsystemen alleen door waarneembare grootheden te beschrijven. Op 7 juni vertrok Heisenberg, om te ontsnappen aan de gevolgen van een zware aanval van hooikoorts, naar het pollenvrije Noordzee-eiland Helgoland. Terwijl hij daar tussen het klimmen en leren van gedichten van Goethe's West-östlicher Diwan doorging, bleef hij nadenken over het spectrale probleem en realiseerde hij zich uiteindelijk dat de aanname van niet commutatieve observabelen het probleem zou kunnen oplossen, en hij schreef later:W. Heisenberg, "Der Teil und das Ganze", Piper, München, (1969) The Birth of Quantum Mechanics. "Het was ongeveer drie uur 's nachts toen het eindresultaat van de berekening voor mij lag. Eerst was ik diep geschokt. Ik was zo opgewonden dat ik niet aan slaap kon denken. Dus verliet ik het huis en wachtte op de zonsopgang op de top van een rots."
De drie fundamentele documenten Nadat Heisenberg was teruggekeerd naar Göttingen, liet hij Wolfgang Pauli zijn berekeningen zien en zei hij op een gegeven moment: "Alles is nog steeds vaag en onduidelijk voor mij, maar het lijkt alsof de elektronen niet meer in banen zullen bewegen."
Op 9 juli gaf Heisenberg hetzelfde document van zijn berekeningen aan Max Born, zeggende: '... hij had een gek artikel geschreven en durfde het niet op te sturen voor publicatie, en dat Born het zou lezen en hem erover zou adviseren ...' voorafgaand aan publicatie. Heisenberg vertrok toen een tijdje en liet Born achter om het artikel te analyseren.W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen , Zeitschrift für Physik , '33' , 879-893, 1925 (ontvangen op 29 juli 1925). [Engelse vertaling in: BL van der Waerden, redacteur, 'Sources of Quantum Mechanics' '(Dover Publications, 1968) (Engelse titel: "Quantum-Theoretical Re-interpretation" van kinematische en mechanische relaties ").]
In het artikel formuleerde Heisenberg de kwantumtheorie zonder scherpe elektronenbanen. Hendrik Kramers had eerder de relatieve intensiteiten van spectraallijnen in het Sommerfeld-model berekend door de fourier-coëfficiënten van de banen als intensiteiten te interpreteren. Maar zijn antwoord was, net als alle andere berekeningen in de oude kwantumtheorie, alleen correct voor grote banen.
Heisenberg begon, na een samenwerking met Kramers,H. A. Kramers und W. Heisenberg, Über die Streuung von Strahlung durch Atome , Zeitschrift für Physik '31' , 681-708 (1925). te begrijpen dat de overgangskansen niet helemaal klassieke grootheden waren, omdat de enige frequenties die in de fourierreeks voorkomen de frequenties zouden moeten zijn die waargenomen worden in kwantumsprongen, niet de fictieve die afkomstig zijn van fourieranalyse van scherpe klassieke banen. Hij verving de klassieke fourierreeks door een matrix van coëfficiënten, een vage kwantum-analogie van de fourierreeks. Klassiek geven de fourier-coëfficiënten de intensiteit van de uitgezonden straling, dus in de kwantummechanica was de grootte van de matrixelementen van de positieoperator de intensiteit van de straling in het heldere-lijnenspectrum. De hoeveelheden in de formulering van Heisenberg waren de klassieke positie en de impuls, maar nu waren ze niet langer scherp gedefinieerd. Elke hoeveelheid werd vertegenwoordigd door een verzameling van fourier-coëfficiënten met twee indices, die overeenkomen met de begin- en eindtoestanden.Emilio Segrè, From X-Rays to Quarks: Modern Physicists and their Discoveries (WH Freeman and Company, 1980) , pp 153–157.
Toen Born het artikel las, zag hij in dat deze formulering getranscribeerd en uitgebreid kon worden naar de systematische taal van matrices,Abraham Pais, Niels Bohr's Times in Physics, Philosophy, and Polity (Clarendon Press, 1991) , pp 275–279. die hij had geleerd van zijn studie onder Jakob RosanesMax Born - Nobellezing (1954) aan de universiteit van Breslau. Born, met de hulp van zijn assistent en oud-student Pascual Jordan, begon onmiddellijk met het maken van de transcriptie en extensie, en ze dienden hun resultaten in voor publicatie; het artikel werd slechts 60 dagen na het artikel van Heisenberg ontvangen voor publicatie.M. Geboren en P. Jordan, Zur Quantenmechanik , Zeitschrift für Physik , '34' , 858-888, 1925 (ontvangen op 27 september 1925). [Engelse vertaling in: B. L. van der Waerden, redacteur, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ] Alle drie de auteurs dienden voor het einde van het jaar een vervolgdocument in voor publicatie.M. Geboren, W. Heisenberg en P. Jordan, Zur Quantenmechanik II , Zeitschrift für Physik , '35' , 557-615, 1925 (ontvangen op 16 november 1925). [Engelse vertaling in: BL van der Waerden, redacteur, 'Sources of Quantum Mechanics' '(Dover Publications, 1968) ] (Een korte bespreking van Borns rol in de ontwikkeling van de matrixmechanica formulering van kwantummechanica samen met een bespreking van de sleutelformule die de niet-commutativiteit van de kansamplitudes omvat, is te vinden in een artikel van Jeremy Bernstein.Jeremy Bernstein Max Born and the Quantum Theory , Am. J. Phys. '73' (11) 999-1008 (2005) Een gedetailleerd historisch en technisch verslag is te vinden in Mehra en Rechenberg's boek The Historical Development of Quantum Theory. Volume 3. The Formulation of Matrix Mechanics and Its Modifications 1925–1926. Mehra, Volume 3 (Springer, 2001))
Tot nu toe werden matrices zelden door natuurkundigen gebruikt; ze werden beschouwd als behorend tot het rijk van de zuivere wiskunde. Gustav Mie had ze gebruikt in een artikel over elektrodynamica in 1912 en Born had ze gebruikt in zijn werk over de roostertheorie van kristallen in 1921. Hoewel matrices in deze gevallen werden gebruikt, kwam matrixalgebra met zijn vermenigvuldiging niet op de voorgrond zoals dat gebeurde in de matrixformulering van de kwantummechanica.Jammer, 1966, pp. 206-207.
Born had echter, zoals reeds opgemerkt, matrixalgebra van Rosanes geleerd, maar Born had ook Hilberts theorie van integraalvergelijkingen en kwadratische vormen voor een oneindig aantal variabelen geleerd, zoals blijkt uit een citaat van Born of Hilberts werk Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen gepubliceerd in 1912.van der Waerden, 1968, p. 51.Het citaat van Born stond in de publicatie van Born en Jordan, het tweede artikel in de trilogie dat de formulering van matrixmechanica lanceerde. Zie van der Waerden, 1968, p. 351.
Jordan was ook goed uitgerust voor de taak. Hij was een aantal jaren assistent van Richard Courant in Göttingen bij de voorbereiding van het boek van Courant en David Hilbert Methoden der mathematischen Physik I, dat in 1924 werd gepubliceerd.Constance Ried Courant (Springer, 1996) p. 93. Dit boek bevatte bij toeval een groot aantal van de wiskundige instrumenten die nodig zijn voor de voortdurende ontwikkeling van de kwantummechanica.
In 1926 werd John von Neumann assistent van David Hilbert, en hij zou de term Hilbertruimte gebruiken om de algebra en analyse te beschrijven die werden gebruikt bij de ontwikkeling van de kwantummechanica.John von Neumann Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren, Mathematische Annalen '102' 49–131 (1929)Toen von Neumann Göttingen in 1932 verliet, schreef zijn boek over de wiskundige grondslagen van de kwantummechanica, gebaseerd op Hilberts wiskunde, werd gepubliceerd onder de titel Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Zie: Norman Macrae, John von Neumann: The Scientific Genius Who Pioniered the Modern Computer, Game Theory, Nuclear Deterrence, and Much More (herdrukt door de American Mathematical Society, 1999) en Constance Reid, 'Hilbert'. (Springer-Verlag, 1996) .
De redenering van Heisenberg Vóór matrixmechanica beschreef de oude kwantumtheorie de beweging van een deeltje door een klassieke baan, met een goed gedefinieerde positie en impuls , met de beperking dat de tijdintegraal over een periode van de impuls maal de snelheid een positief geheel veelvoud van constante van Planck moet zijn
Hoewel deze beperking correct banen selecteert met min of meer de juiste energiewaarden , beschreef het oude kwantummechanische formalisme geen tijdsafhankelijke processen, zoals de emissie of absorptie van straling.
Wanneer een klassiek deeltje zwak is gekoppeld aan een stralingsveld, zodat de stralingsdemping kan worden verwaarloosd, zal het straling uitzenden in een patroon dat zich elke orbitale periode herhaalt. De frequenties waaruit de uitgaande golf bestaat, zijn dan gehele veelvouden van de orbitale frequentie, en dit weerspiegelt het feit dat periodiek is, zodat de fourierreeks alleen frequenties heeft:
De coëfficiënten zijn complexe getallen. Die met negatieve frequenties moeten de complex geconjugeerde zijn van die met positieve frequenties, zodat altijd reëel zal zijn:
Een kwantummechanisch deeltje kan daarentegen niet continu straling uitzenden, het kan alleen fotonen uitzenden. Ervan uitgaande dat het kwantumdeeltje begon in baannummer , een foton uitzond en vervolgens eindigde in baannummer , is de energie van het foton , dus met frequentie .
Voor grote en , maar met relatief klein, zijn dit de klassieke frequenties van Bohrs correspondentieprincipe:
Daarin is de klassieke periode van ofwel baan of baan , omdat het verschil tussen beide hoger is in . Maar voor en klein, of als groot is, zijn de frequenties geen gehele veelvouden van een enkele frequentie.
Aangezien de frequenties die het deeltje uitzendt hetzelfde zijn als de frequenties in de fourier-beschrijving van zijn beweging, suggereert dit dat 'iets' in de tijdsafhankelijke beschrijving van het deeltje met frequentie oscilleert.
Heisenberg noemde deze hoeveelheid , en eiste dat het zou worden teruggebracht tot de klassieke fouriercoëfficiënten binnen de klassieke limiet. Voor grote waarden van en , maar met relatief klein, is de -de fouriercoëfficiënt van de klassieke beweging in een baan . Aangezien de tegenovergestelde frequentie heeft als , wordt de voorwaarde dat reëel is:
Per definitie heeft alleen de frequentie , zodat:
Dit is de oorspronkelijke vorm van de bewegingsvergelijking van Heisenberg.
Aangezien de twee arrays en twee fysieke grootheden beschrijven, zou Heisenberg een nieuwe array van hetzelfde type kunnen vormen door het combineren van de termen , die ook oscilleren met de juiste frequentie. Aangezien de fouriercoëfficiënten van het product van twee hoeveelheden de convolutie van de fouriercoëfficiënten van elk afzonderlijk is, kon Heisenberg door de overeenstemming met de fourierreeks de regel afleiden waarmee de arrays moeten worden vermenigvuldigd: