thumb|Standbeeld van Gauss in zijn geboorteplaats Braunschweig thumb|Titelpagina van Gauss' Disquisitiones Arithmeticae
Carl Friedrich Gauss (oorspronkelijk Gauß) (Brunswijk, 30 april 1777 – Göttingen, 23 februari 1855) was een Duits wiskundige en natuurkundige, die een zeer belangrijke bijdrage heeft geleverd aan een groot aantal deelgebieden van de wiskunde en de exacte wetenschappen, waaronder de getaltheorie, statistiek, analyse, differentiaalmeetkunde, geodesie, elektrostatica, astronomie en de optica.
Gauss had een opmerkelijke invloed op vele deelgebieden binnen zowel de wiskunde als andere exacte wetenschappen. Hij wordt soms de prins der wiskunde genoemd. Gauss wordt gezien als een van de meest invloedrijke wiskundigen uit de geschiedenis. Dunnington, G. Waldo. (Mei, 1927). "De 150-jarige herdenking van de geboorte van Gauss". Scientific Monthly XXIV 402-414. Opgehaald op 29 juni 2005. Alomvattend biografisch artikel. Gauss refereerde aan de wiskunde als "de koningin van de wetenschappen". Smith, SA, et al.. 2001. Algebra 1: California Edition. Prentice Hall, New Jersey.
Al vroeg gaf hij blijk van grote aanleg op het gebied van rekenen en later wiskunde. Zijn eerste baanbrekende wiskundige ontdekkingen deed hij al toen hij nog een tiener was. Zijn hoofdwerk, de Disquisitiones Arithmeticae, voltooide hij in 1798, op 21-jarige leeftijd. Dit werk was van fundamenteel belang voor de getaltheorie en geldt tot op de huidige dag als een van de basiswerken van de moderne wiskunde.
Leven Vroege jaren (1777–1801) – jeugd, opleiding, zeventienhoek en getaltheorie Carl Friedrich Gauss werd geboren in Braunschweig, in het Vorstendom Brunswijk-Wolfenbüttel, dat nu deel uitmaakt van Nedersaksen. Hij was de enige zoon in een arbeidersgezin. Hij werd gedoopt en gevormd in een kerk in de buurt van de school waar hij als kind op had gezeten.correspondentie tussen nazaten van Gauss
Aangezien zijn vader wilde dat zijn zoon in zijn voetsporen zou volgen en metselaar zou worden, was hij er geen voorstander van dat Gauss geschoold werd in de wiskunde en natuurkunde. Gauss werd bij zijn inspanningen voornamelijk door zijn moeder ondersteund. Door zijn reeds op jeugdige leeftijd gevestigde reputatie kende hertog Karel Willem Ferdinand Gauss een beurs toe voor het Collegium Carolinum, nu de Technische Universiteit Braunschweig, waar hij van 1792 tot 1795 lessen volgde. Daarna studeerde hij van 1795 tot 1798 aan de Universiteit van Göttingen.
Terwijl hij nog op de universiteit zat, herontdekte Gauss, onafhankelijk van anderen, een aantal belangrijke stellingen. Zijn doorbraak kwam in 1796, toen hij erin slaagde aan te tonen dat een regelmatige n-hoek, waarbij n gelijk is aan een fermat-priemgetal, kan worden geconstrueerd met behulp van passer en liniaal. §§365–366 in Disquisitiones Arithmeticae Hetzelfde geldt ook voor n-hoeken waar n gelijk is aan het product van een fermatgetal en een macht van 2, dit gaat met Gauss' bewijs mee. Het was een grote ontdekking in een belangrijke tak van de wiskunde. Constructies met passer en liniaal hielden wiskundigen reeds bezig sinds de dagen van de oude Grieken. Deze ontdekking heeft er uiteindelijk voor gezorgd dat Gauss een carrièrekeuze maakte voor de wiskunde en niet voor de filologie. Gauss was zo tevreden met dit resultaat dat hij verzocht om een zeventienhoek aan te brengen op zijn grafsteen. De steenhouwer gaf echter aan dat deze moeilijke constructie te veel op een cirkel zou lijken en wees het verzoek af.Pappas, Theoni: Wiskundige Fragmenten, Pagina 42. PGW 2008
Het jaar 1796 was zowel voor Gauss als de getaltheorie een zeer productief jaar. Behalve de constructie van de zeventienhoek op 30 maart vond hij het modulair rekenen uit. Door gebruik te maken van modulair rekenen kunnen sommige berekeningen in de getaltheorie worden vereenvoudigd. Op 9 april publiceerde hij als eerste de wet van de kwadratische reciprociteit. Deze opmerkelijke algemene wet stelt wiskundigen in de gelegenheid om de oplosbaarheid van een kwadratische vergelijking te bepalen met behulp van modulair rekenen. Op 31 mei formuleerde hij het vermoeden voor de latere priemgetalstelling. Deze stelling geeft een goed inzicht hoe de priemgetallen zijn verdeeld over de gehele getallen. Op 10 juli ontdekte Gauss dat ieder positief geheel getal kan worden weergegeven als een som van ten hoogste drie driehoeksgetallen, waarna hij vervolgens in zijn dagboek in navolging van Archimedes de beroemde woorden: "Eureka! num = " noteerde. Op 1 oktober ten slotte publiceerde hij een resultaat met betrekking tot het aantal oplossingen van polynomen met coëfficiënten in eindige velden (lichamen), wat uiteindelijk 150 jaar later heeft geleid tot de vermoedens van Weil.
In 1799 bewees Gauss, bij het behalen van zijn doctoraat in absentia, in zijn proefschrift Een nieuw bewijs van de stelling dat elke geheeltallige rationele algebraïsche functie van een variabele kan worden opgelost in reële factoren van de eerste of tweede graad, de hoofdstelling van de algebra, waarin wordt gesteld dat elke niet-constante enkelvoudige variabele polynoom over de complexe getallen ten minste één nulpunt heeft. Diverse wiskundigen, waaronder Jean le Rond d'Alembert hadden voor hem al onjuiste bewijzen geleverd en Gauss geeft in zijn proefschrift een kritiek op het werk van d'Alembert. Ironisch genoeg is Gauss' eigen bewijs van de hoofdstelling van de algebra, naar moderne maatstaven gemeten, ook niet aanvaardbaar, omdat impliciet gebruik wordt gemaakt van de stelling van Jordan. In latere jaren kwam Gauss echter met drie andere bewijzen, waarvan het laatste uit 1849 algemeen als sluitend wordt beschouwd. Het concept van de complexe getallen werd door deze bewijzen van de hoofdstelling in hoge mate verduidelijkt.
Gauss leverde in 1801 met zijn boek Disquisitiones arithmeticae, (Latijn: Rekenkundige onderzoekingen), een zeer belangrijke bijdrage aan de getaltheorie. In dit boek resumeerde hij zijn eerdere onderzoekingen, gaf hij een uiteenzetting van het modulair rekenen en bewees hij de wet van de kwadratische reciprociteit.
Vroege volwassenheid (1801–1817) – astronomie thumb|200px|Sterrenwacht Göttingen In 1801 ontdekte de Italiaanse astronoom Giuseppe Piazzi de dwergplaneet Ceres, maar hij kon zijn ontdekking slechts een korte periode volgen. Gauss gaf een voorspelling waar Ceres kon worden teruggevonden, en op basis van deze voorspelling vonden op 31 december 1801 Franz Xaver von Zach in Gotha, en een dag later Heinrich Olbers in Bremen de planetoïde inderdaad terug. Zach merkte op dat "zonder het intelligente werk en de berekeningen van dr. Gauss wij Ceres mogelijk niet hadden gevonden." Hoewel Gauss tot op dat punt nog steeds ondersteund werd door een toelage van de Hertog, had hij, nu hij geen student meer was, zijn twijfels over de duurzaamheid van deze regeling, ook geloofde hij niet dat zuivere wiskunde als belangrijk genoeg werd gezien om steun te verdienen. Op basis van deze overwegingen zocht hij nu een positie in de sterrenkunde. Dat lukte in 1807: hij werd benoemd tot hoogleraar sterrenkunde en directeur van het oude astronomisch observatorium in Göttingen, een functie die hij voor de rest van zijn leven zou bekleden.
De ontdekking van Ceres door Piazzi op 1 januari 1801 heeft Gauss aangezet tot zijn werk over een theorie van de beweging van planetoïden, waarbij hij rekening hield met de verstoring door grote planeten. Dit resulteerde in 1809 in een publicatie onder de naam Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (theorie van de beweging van de hemellichamen zoals deze in kegelsneden rond de zon bewegen). Piazzi was slechts in staat geweest Ceres een paar maanden, ongeveer drie graden in de nachtelijke hemel te volgen. Daarna verdween Ceres tijdelijk achter de zon. Enkele maanden later, toen Ceres weer achter de zon vandaan zou moeten komen, kon Piazzi Ceres echter niet meer vinden. Het wiskundige gereedschap van die tijd was niet in staat een positie uit een zo geringe hoeveelheid data-elementen te extrapoleren. De geobserveerde drie graden vertegenwoordigen minder dan 1% van de totale omloopbaan van Ceres.thumb|right|Vier normale verdelingen in statistieken
Gauss, op dat moment 23, hoorde van dit probleem en begon eraan te werken. Na drie maanden van intensieve arbeid voorspelde hij in december 1801 – ongeveer een jaar na de eerste waarneming – een positie voor Ceres en zijn voorspelling bleek tot op een halve graad nauwkeurig te zijn. In zijn oplossing stroomlijnde hij de lastige 18e-eeuwse wiskunde voor de voorspelling van omloopbanen op zodanige wijze dat het werk dat hij enige jaren publiceerde als de Theorie van de beweging van hemellichamen gedurende lange tijd een hoeksteen voor astronomische berekeningen bleef. In dit werk introduceerde Gauss de Gaussiaanse zwaartekrachtconstante en gaf hij een zeer invloedrijke uiteenzetting over de methode van de kleinste kwadraten, een methode die tot op de huidige dag in tal van wetenschappen wordt gebruikt om de impact van meetfouten te minimaliseren. Gauss gaf in 1809 een bewijs voor de methode van de kleinste kwadraten; hij ging daarbij uit van normaal verdeelde fouten (zie stelling van Gauss-Markov), De methode was in 1805 al eerder beschreven door Adrien-Marie Legendre, maar Gauss beweerde dat hij al sinds 1795 gebruikmaakte van de methode van de kleinste kwadraten.
Na zijn benoeming hield hij zich bezig met de verdere bouw van het nieuwe observatorium dat in 1816 gereed was. Gauss publiceerde intussen boeken over sterrenkunde, maar ook over wiskundige onderwerpen zoals rijen, reeksen en kansverdelingen.
Middelbare leeftijd (1817–1831) - Landmetingen en niet-Euclidische wiskunde
Vanaf 1818 voerde Gauss op verzoek van de regering een uitgebreid landmeetkundig onderzoek uit in het Koninkrijk Hannover. Hierbij sloot hij aan op eerder Deense onderzoekingen. Als een hulpmiddel bij dit onderzoek vond Gauss de heliotroop uit, een instrument dat gebruikmaakt van een spiegel om zonlicht over grote afstanden te weerkaatsen. De heliotroop wordt gebruikt om nauwkeurig posities te kunnen meten.
In 1820 was Gauss de eerste wetenschapper die een concreet plan presenteerde om contact te maken met buitenaards leven. Hij stelde voor om een immens grote rechthoekige driehoek uit te graven in een Siberisch dennenbos, met langs elke zijde een vierkant. De greppels dienden opgevuld te worden met tarwe, zodat er een monument voor de Stelling van Pythagoras ontstond dat groot genoeg was om vanuit de ruimte te zien.
Gauss beweerde ook de mogelijkheid van een niet-Euclidische meetkunde te hebben ontdekt. Hij heeft hier echter nooit over gepubliceerd. Deze ontdekking betekende een belangrijke paradigma-verschuiving in de wiskunde, aangezien deze ontwikkeling wiskundigen bevrijdde van het onjuiste geloof dat de postulaten van Euclides de enige manier waren om de meetkunde consistent en niet tegenstrijdig te maken. Onderzoek naar niet-Euclidische meetkunden heeft onder andere geleid tot Einsteins algemene relativiteitstheorie, waarin het heelal als niet-Euclidisch wordt beschreven. Gauss zijn studievriend Farkas Bolyai, met wie Gauss als student "broederschap onder de banier van de waarheid" had gezworen, probeerde vele jaren tevergeefs om het parallellenpostulaat van Euclides uit de andere axioma's van de meetkunde te bewijzen. Bolyais zoon, János Bolyai, ontdekte in 1829 de niet-Euclidische meetkunde (Nikolaj Lobatsjevski had dit onafhankelijk van Bolyai in 1826 ook al gedaan); zijn werk werd gepubliceerd in 1832. Na het zien van dit werk schreef Gauss aan Farkas Bolyai: "Dit werk te prijzen zou neerkomen op lof voor mezelf. Dit omdat de gehele inhoud van het werk ... bijna precies samenvalt met mijn eigen bespiegelingen over dit onderwerp gedurende de afgelopen dertig of vijfendertig jaar."