In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een matrix, meervoud: matrices, een rechthoekig getallenschema. De gebruikelijke voorstelling van zo'n rechthoekig schema is met een zijde in de schrijfrichting en de andere loodrecht daarop, zodat de getallen daar in rijen en kolommen in geordend staan. De matrix is een middel om samenhangende gegevens en hun bewerkingen op een systematische en overzichtelijke wijze weer te geven. De naam matrix werd in 1848 ingevoerd door de Britse wiskundige J.J. Sylvester.

Indien er rijen en kolommen zijn, spreekt men van een -matrix. Het gebruik is dus dat het eerste cijfer de hoogte aangeeft en het tweede de breedte. Als is het een vierkante matrix. De getallen heten de elementen van de matrix. Een -matrix heeft dus elementen. Het element op het kruispunt van de -de rij en de -de kolom wordt aangeduid als het -de element en genoteerd als . Voor de matrix zelf noteert men wel: . Andere notaties worden ook gebruikt, onder andere, waarin het -de element van een matrix geschreven wordt als . Het volgende voorbeeld toont een 2×3-matrix met gehele getallen als elementen:

We zien bijvoorbeeld dat en .

Matrices zijn belangrijke instrumenten in de lineaire algebra. Men gebruikt ze onder andere om lineaire afbeeldingen mee weer te geven. Matrixvermenigvuldiging komt overeen met samenstelling van lineaire afbeeldingen. Matrices kunnen ook worden gebruikt om een overzicht te geven van de coëfficiënten in een stelsel van lineaire vergelijkingen. De determinant bepaalt voor een vierkante matrix voor een deel welke oplossingen het corresponderende stelsel van lineaire vergelijkingen heeft. De eigenwaarden en eigenvectoren van een matrix geven inzicht in de meetkunde van de geassocieerde lineaire transformatie.

Matrices worden in de wiskunde en in de toepassingen ervan veel gebruikt. In de natuurkunde maakt men op verscheidene gebieden gebruik van matrices, zoals bij de meetkundige optica en de matrixmechanica. De laatste toepassing heeft geleid tot een meer gedetailleerde studie van matrices met een oneindig aantal rijen en kolommen. De grafentheorie maakt gebruik van matrices om afstanden tussen paren knopen in een graaf bij te houden. Computergraphics gebruikt matrices om de driedimensionale ruimte op een tweedimensionaal vlak te projecteren. De matrixrekening generaliseert klassieke analytische begrippen zoals afgeleiden van functies en exponentiële functies naar matrices, wat toepassing vindt bij het oplossen van gewone differentiaalvergelijkingen. Het serialisme en de dodecafonie zijn 20e-eeuwse muzikale stromingen die gebruikmaken van een vierkante matrix om het patroon van de intervallen te bepalen.

Een belangrijke tak van de numerieke analyse is gewijd aan de ontwikkeling van efficiënte algoritmen voor matrixberekeningen, een onderwerp dat, hoewel al eeuwen oud, nog steeds een actief gebied van wiskundig onderzoek is. Methoden voor matrix-decompositie vereenvoudigen zowel theoretische als praktische berekeningen. Voor ijle matrices, dat wil zeggen matrices die naar verhouding veel nullen bevatten, kunnen specifiek ontworpen algoritmen tot versnelde berekeningen leiden. Dergelijke matrices spelen bijvoorbeeld een rol in de eindige-elementenmethode.

Geschiedenis Men maakt bij het oplossen van lineaire vergelijkingen al heel lang gebruik van matrices. De Chinese tekst Negen hoofdstukken over de rekenkunde, geschreven tussen 300 v.Chr. en 200 n.Chr., geeft het eerste voorbeeld van het gebruik van matrixmethoden om een stelsel van lineaire vergelijkingen op te lossen.Shen, Crossley, Lun, 1999 geciteerd door Bretscher, 2005 pag.

De determinant werd bijna 100 jaar eerder in de Chinese wiskunde genoemd dan in 1683 door de Japanse wiskundige Seki en in 1693 door Leibniz. Cramer presenteerde zijn regel van Cramer in 1750.

De vroege matrixtheorie benadrukte determinanten sterker dan matrices. Een onafhankelijk matrixbegrip, dat verwant is aan de moderne notie van een matrix, ontstond pas in 1858, met het werk van Cayley's Memoir on the theory of matrices.Cayley, 1889, vol. II, blz. 475-496))Dieudonne,1978, Vol. 1, Ch. III, blz. 96 De naam matrix werd door Sylvester bedacht, die een matrix als opgebouwd achtte uit minoren, determinanten van kleinere matrices die uit het origineel ontstaan door het verwijderen van rijen en kolommen. Het woord matrix is etymologisch afkomstig uit het Latijn.Merriam-Webster woordenboek. Gearchiveerd op 10 mei 2023.

De studie van determinanten kwam voort uit verschillende bronnen.Knobloch, 1994 Problemen in de getaltheorie brachten Gauss er toe om coëfficiënten van kwadratische vormen, dat wil zeggen, uitdrukkingen zoals en lineaire afbeeldingen in drie dimensies met matrices in verband te brengen. Eisenstein heeft deze noties verder uitgewerkt, waaronder de opmerking dat de matrixvermenigvuldiging niet commutatief is. Cauchy was de eerste om algemene uitspraken over determinanten te bewijzen. Hij maakte daarbij gebruik van de volgende definitie van de determinant van een matrix : vervang de machten door in het polynoom

Hij toonde in 1829 ook aan dat de eigenwaarden van symmetrische matrices reëel zijn.Hawkins, 1975 Jacobi bestudeerde functionele determinanten, later door Sylvester de Jacobiaan genoemd. Die kunnen bij integreren worden gebruikt bij het overgaan naar een ander coördinatenstelsel. Zie Kroneckers Vorlesungen über die Theorie der DeterminantenKronecker, Hensel, 1897 en Weierstrass' Zur Determinantentheorie,Weierstrass, 1915, vol 3, blz. 271-286 beide in 1903 gepubliceerd. Zij waren de eersten die determinanten axiomatisch behandelden, dit in tegenstelling tot eerdere meer concrete benaderingen, zoals de genoemde stelling van Cauchy.

Veel stellingen werden aanvankelijk alleen voor kleine matrices vastgesteld, de stelling van Cayley-Hamilton werd bijvoorbeeld voor 2×2-matrices door Cayley in zijn hierboven genoemde werk bewezen, terwijl Hamilton deze stelling voor 4×4-matrices bewees. Frobenius bewees de stelling in 1898 voor alle matrices, toen hij aan bilineaire vormen werkte. Wilhelm Jordan was een van de eersten in Europa, aan het eind van de 19e eeuw, die een methode gaf om een stelsel van lineaire vergelijkingen op te lossen, nu bekend als de gauss-eliminatie. Matrices kregen in het begin van de 20e eeuw een centrale rol binnen de lineaire algebra.Bocher

Het begin van de matrixmechanica door Heisenberg, Born en Jordan heeft geleid tot het bestuderen van matrices met oneindig veel rijen en kolommen.Mehra, Rechenberg, 1987 Von Neumann heeft later de wiskundige formulering van de kwantummechanica opgesteld door de begrippen uit de functionaalanalyse verder te ontwikkelen, zoals lineaire afbeeldingen op hilbertruimten, die ruwweg gesproken corresponderen met de euclidische ruimte, maar met oneindig onafhankelijke richtingen.

Verschillend gebruik matrix in de geschiedenis van de wiskunde Het woord matrix is door ten minste twee historisch belangrijke schrijvers op een ongewone manier gebruikt.

Russell en Whitehead gebruikten het woord matrix in hun Principia Mathematica (1910-1913) in de context van hun axioma van reduceerbaarheid. Zij stelden dit axioma voor als een middel om een functie successievelijk tot een van een lager type te reduceren, zodat de functie aan de 'onderkant', van de nulde orde, identiek zal zijn aan haar uitbreiding:

"Laten we de naam matrix aan enige functie van een willekeurig aantal variabelen geven, waarbij geen sprake is van enige klaarblijkelijke variabelen. Dan wordt enige mogelijke functie anders dan een matrix door middel van veralgemening afgeleid van een matrix, dat wil zeggen door de propositie te beschouwen die beweert dat de functie in kwestie waar is voor alle mogelijke waarden of met sommige waarden van een van de argumenten, waarbij het andere argument of argumenten onbepaald blijven".Alfred North Whitehead en Bertrand Russell (1913) Principia Mathematica to * 56, Cambridge at the University Press, Cambridge UK (heruitgegeven 1962) zie pagina 162ff.

Een functie van twee variabelen en kan bijvoorbeeld worden teruggebracht tot een verzameling van functies van een enkele variabele, bijvoorbeeld , door de functie voor alle mogelijke waarden van individuen te beschouwen, waar in de plaats van variabele wordt gesubstitueerd. Dan kan de resulterende collectie van functies van de enkele variabele , dat wil zeggen voor de verschillende worden gereduceerd tot een matrix van waarden door de functie te beschouwen voor alle mogelijke waarden van "individuen" gesubstitueerd in plaats van variabele : voor alle en

Tarski gebruikte het woord matrix in 1946 in zijn Introduction to Logic als een synoniem voor zijn notie van waarheidstabel, zoals deze wordt gebruikt in de wiskundige logica, 1946 Introduction to Logic and the Methodology of Deductive Sciences (Inleiding in de logica en de methodologie van de deductieve wetenschappen, Dover Publications, Inc., New York NY, .

Definitie Een -matrix over een lichaam of veld is een element van het cartesische product , geschreven als rijen onder elkaar van elementen van :

De getallen heten de elementen van de matrix .

Het is gebruikelijk de componenten van de matrix als een kolom van rijen te schrijven: ,

wat leidt tot de matrix als een rechthoekig schema van getallen.

Het getallenlichaam waaruit de elementen van een matrix worden gekozen is meestal , zoals in een reële matrix, of , zoals in een complexe matrix.

Som

Twee matrices van dezelfde afmetingen kunnen bij elkaar worden opgeteld. Dat gebeurt elementsgewijs. De som van twee -matrices en heeft als elementen ,

dus

Voorbeeld

Product Het product van een -matrix met een -matrix of met een -vector kan door middel van matrixvermenigvuldiging worden berekend.

Product van matrices thumb|Matrixvermenigvuldiging van twee matrices en

Het product van een -matrix en een -matrix is een -matrix , met als elementen: .

Voorbeeld

Matrixvermenigvuldiging is alleen gedefinieerd voor twee matrices waarvan het aantal kolommen van de eerste gelijk is aan het aantal rijen van de tweede.

Product van matrix en vector Het product berekenen van een -matrix en een -vector gaat op dezelfde manier. Het is de -vector met coördinaten:

Dat is hetzelfde als de matrixvermenigvuldiging van de matrix en de kolomvector (matrix) met als elementen de coördinaten van de vector . Het resultaat is de kolomvector

met als elementen de coördinaten van de vector .

Rij- en kolomvector

Een -matrix is gedefinieerd als: ,

dus met als enige component de vector

Zo'n matrix, die als een rij getallen genoteerd wordt, lijkt erg veel op een vector en verschilt daar alleen in formele zin van. Men noemt een -matrix daarom wel een rijvector.

Een -matrix is gedefinieerd als: ,

dus met als -de component

Zo'n matrix, die als een kolom getallen genoteerd wordt, lijkt erg veel op een vector en verschilt daar alleen in formele zin van. Men noemt een -matrix daarom wel een kolomvector.

Vatten we de -vector op als de kolomvector , met elementen: , dan is het product , opgevat als kolomvector, hetzelfde als het matrixproduct .

Basisoperaties

Er zijn nog enkele operaties die op matrices kunnen worden toegepast en die de basistechnieken vormen voor het rekenen met matrices. Het gaat om scalaire vermenigvuldiging en transpositie. Voor het eventueel handmatig oplossen van lineaire vergelijkingen en het vinden van een inverse matrix komen daar nog de rij-operaties bij.

Scalaire vermenigvuldiging Het product van de scalaire vermenigvuldiging van een matrix met het getal (in het spraakgebruik van de abstracte algebra een scalair genoemd) wordt berekend door elk element van met te vermenigvuldigen:

Voorbeeld

Getransponeerde matrix De getransponeerde van een -matrix is de -matrix , ook aangeduid met of , die men krijgt door de rijen en kolommen te verwisselen:

De getransponeerde van een getransponeerde matrix is weer de oorspronkelijke matrix:

Voorbeeld

Rij-operaties