In de kansrekening is de kansgenererende functie van een discrete stochastische variabele met natuurlijke getallen als waarden, een machtreeks met de verschillende kansen als coëfficiënten. De kansgenerende functie is onder andere nuttig voor het berekenen van de verwachtingswaarde en de variantie van een stochastische variabele.

Definitie Als een discrete stochastische variabele is met uitsluitend natuurlijke getallen als waarden, is de kansgenererende functie van gedefinieerd als:

Eigenschappen Genereren van kansen Deze functie genereert inderdaad de kansen:

Verwachtingswaarde en variantie Als , is:

en

Gelijke verdeling Omdat de kansgenererende functie eenduidig met de kansen is verbonden, hebben twee stochastische variabelen dezelfde verdeling als hun kansgenererende functies gelijk zijn.

Momentgenererende functie Tussen de kansgenererende functie en de momentgenererende functie bestaat de volgende relatie:

Som van twee stochastische variabelen De kansgenererende functie van de som van twee onderling onafhankelijke stochastische variabelen is het product van de beide afzonderlijke kansgenererende functies, immers:

Voorbeelden Ontaarde verdeling De kansgenererende functie van een in het punt gedegenereerde verdeling, waarvoor dus , is

Bernoulli-verdeling De kansgenererende functie van de bernoulli-verdeling met parameter , is

Binomiale verdeling De kansgenererende functie van de binomiale verdeling met parameters en , is

Merk op dat dit de -de macht is van de kansgenererende functie van de Bernoulli-verdeling, in overeenstemming met een van de bovengenoemde eigenschappen.

Geometrische verdeling De kansgenererende functie van de geometrische verdeling met parameter , is

Negatief-binomiale verdeling De kansgenererende functie van de negatief-binomiale verdeling met parameters en , is

Merk op dat dit de -de macht is van de kansgenererende functie van de geometrische verdeling, in overeenstemming met een van de bovengenoemde eigenschappen.

Poisson-verdeling De kansgenererende functie van de poissonverdeling met parameter , is

Categorie:Kansrekening