De regel van l'Hôpital is een stelling in de wiskunde die kan worden gebruikt bij het berekenen van de limiet van het quotiënt van twee functies door middel van hun afgeleiden. De regel is genoemd naar de Franse wiskundige Guillaume de l'Hôpital (1661–1704), die de regel als eerste publiceerde in zijn boek L'Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, terwijl de regel waarschijnlijk als eerste door Johann Bernoulli is ontdekt. De regel is speciaal van toepassing als de limieten van elk van de functies, bij dezelfde waarde van het argument, zodanige waarden hebben dat het quotiënt onbepaald is.

Regel Als voor twee differentieerbare functies en en een getal voldaan is aan een van de voorwaarden:

of ,

geldt

mits de limiet in het rechterlid bestaat.

Door toepassing van deze regel kunnen onbepaaldheden van de vorm en mogelijk opgelost worden.

Nogmaals Laat een niet-leeg open interval zijn en twee differentieerbare functies waarvoor de linkerlimieten en beide bestaan en gelijk zijn aan 0, of beide divergeren naar .

Als voor alle en

bestaat of divergeert naar , dan bestaat ook

of divergeert naar

Overeenkomstige resultaten gelden voor een interval en rechterlimieten en voor

Als een echte deelverzameling is van een open interval waarop aan de genoemde voorwaarden voldaan is, dan geldt in het bijzonder:

Voorbeelden

Voorbeeld 1 Zowel de teller als de noemer gaan in de onderstaande limiet naar 0.

Met de regel van l'Hôpital blijkt:

In het volgende voorbeeld gaan zowel teller als noemer naar . Met de regel van l'Hôpital blijkt:

Voorbeeld 2 Het is door de regel van l'Hôpital toe te passen ook mogelijk de limiet te bepalen van een product waarvan de factoren als limieten 0 en hebben. Als bijvoorbeeld:

en

dan kan de regel van l'Hôpital toegepast worden met:

Voorbeeld 3 Limieten die aanleiding geven tot de onbepaaldheid kunnen soms met de regel van de l'Hôpital worden bepaald. Dit is het geval indien de oneindigheden zelf zouden ontstaan vanuit een delen door nul. Bijvoorbeeld

Voorbeeld 4 Bepaalde limieten van de vorm

kunnen ook soms met de regel van de l'Hôpital worden opgelost. Dat kan indien de afzonderlijke limieten aanleiding geven tot een onbepaaldheid van de vorm of .

De limiet wordt daartoe herschreven in de vorm

De logaritmische functie kan binnen de limiet worden gebracht omdat die over het hele domein ervan continu is.

Voorbeeld

Alleen de rechterlimiet is hier mogelijk.

De limiet wordt herschreven als

Voor de limiet geldt:

zodat:

Categorie:Wiskundige analyse