thumb|Rubiks kubus, een voorbeeld van de toepassing van groepen in de praktijk.
Groepentheorie is in de wiskunde de studie van groepen, ook te omschrijven als de studie van symmetrieën. Groepen worden in de wiskunde veel gebruikt om de symmetrie van een wiskundig object mee te beschrijven. De in een groep besloten symmetrie wordt bepaald door de eigenschappen die onder de toegestane transformaties niet veranderen.
Geschiedenis Euler, Lagrange, Legendre, Gauss, Abel, Galois en Jordan leefden na elkaar in de achttiende en de negentiende eeuw. De onderwerpen van hun studie waren het oplossen van vergelijkingen, de getaltheorie en de meetkunde. Deze vakgebieden vormden het begin van de geschiedenis van de groepentheorie. Zij waren daarmee de grondleggers van de groepentheorie. Galois legde het verband tussen groepen en lichamen. Deze theorie heet nu de galoistheorie. De lichamen in deze theorie zijn de lichamen die de wortels van een te ontbinden polynoom bevatten.
Ruffini volgde dezelfde weg, hij onderzocht ook het verband tussen de oplossingen van vergelijkingen en groepen, maar hij breidde de groepentheorie daarbij uit.
Cayley en Cauchy onderkenden als een van de eersten het belang van groepen. Van de hand van Cauchy zijn enkele belangrijke stellingen, onder andere over het aantal elementen in een groep. Serret gaf de theorie bredere bekendheid, hoofdstuk IV van zijn werk over de algebra gaat erover. Jordans Traité des Substitutions was een bekend boek over de groepentheorie. Het werk van NettoEugen Netto uit 1882 werd in 1892 door Cole in het Engels vertaald.
Andere bekende namen uit de negentiende eeuw zijn Bertrand, Burnside, Hermite, Frobenius, Kronecker en Mathieu. Zo is er een klasse van groepen naar Mathieu genoemd. Het onderzoek naar groepen werd vanaf 1884 systematisch uitgevoerd. Lie begon met het onderzoek naar de groepen die later naar hem zijn genoemd: de lie-groepen. Dat zijn geometrisch continue groepen. Anderen waren Killing, Study, Schur, MaurerLudwig Maurer en Cartan. Eindige groepen werden door Klein bestudeerd, ook weer door Lie, Poincaré en Picard.
In het midden van de 20e eeuw is geprobeerd alle enkelvoudige groepen te bepalen. Dat is zeer veel werk geweest, maar het idee is dat alle enkelvoudige groepen bekend zijn. Er worden ook met behulp van computers geen nieuwe enkelvoudige groepen meer bij gevonden.
Artin, Noether en de Noorse wiskundige Sylow zijn in de wiskunde ook nog met groepen bezig geweest. Sylow bewees enkele belangrijke stellingen, die naar hem zijn genoemd.
Algemeen Groepentheorie is gelijk met de theorie van het oplossen van vergelijkingen ontstaan. Lagrange heeft als eerste geprobeerd deze twee theorieën te combineren. De theorie die hierover gaat heet galoistheorie, de gebruikte groepen heten de galoisgroepen. Polynomen worden door hun galoisgroep ingedeeld. De galoistheorie is dus gefundeerd op de groepentheorie.
In de algebraïsche topologie worden groepen gebruikt om de vaste eigenschappen, de invarianten van topologische ruimten te beschrijven. De vaste eigenschappen van een topologische ruimte veranderen niet onder een continue vervorming van die ruimte. Voorbeelden van dergelijke invarianten zijn de fundamentaalgroep, de homologiegroepen en de cohomologiegroepen.
Lie-groepen kunnen bij differentiaalvergelijkingen en variëteiten worden gebruikt. Deze tak van de wiskunde heet de fourier- of harmonische analyse. De harmonische analyse combineert de analyse van functies en de groepentheorie, de groepen worden gebruikt om de symmetrie binnen analytische grootheden te beschrijven.
De stelling van Burnside is een gevolg van de groepentheorie. In de combinatoriek wordt deze stelling gebruikt om het tellen van bijvoorbeeld permutaties te vereenvoudigen.
Groepentheorie heeft veel toepassingen, vooral in de natuurkunde, de scheikunde en de materiaalkunde. In de scheikunde en de materiaalkunde worden ruimtegroepen gebruikt om de structuur van kristallen, en puntgroepen om er de symmetrie binnen moleculen of eenheidscellen in een kristalstructuur te beschrijven. In de natuurkunde geven groepen de symmetrie aan waaraan de krachten tussen de verschillende elementaire deeltjes moeten voldoen. Vooral lie-groepen zijn belangrijk, zij geven de mogelijke configuraties van krachten en deeltjes. Deze theorie resulteert in het standaardmodel.
Indeling Het bereik van de binnen de groepentheorie bestudeerde groepen heeft zich geleidelijk uitgebreid van eindige permutatiegroepen en speciale voorbeelden van matrixgroepen tot abstracte groepen die kunnen worden gespecificeerd door middel van een presentatie door generatoren en relaties.
Permutatiegroepen De eerste groepen die systematisch zijn bestudeerd, waren de permutatiegroepen. Een groep van permutaties van een verzameling , dat wil zeggen bijecties op , die gesloten is onder de operaties functiecompositie en inverse, is een groep die inwerkt op . Als uit elementen bestaat en uit alle permutaties van , dan is de symmetrische groep . Een vroege constructie door Cayley toonde aan dat iedere groep isomorf is met een permutatiegroep. Het is eenvoudiger in te zien dat iedere permutatie isomorf is met een permutatiematrix.
In veel gevallen kan de structuur van een permutatiegroep worden bestudeerd door gebruik te maken van de eigenschappen van de inwerking ervan op de corresponderende verzameling. Op deze manier kan men bijvoorbeeld bewijzen dat voor , de alternerende groep een enkelvoudige groep is, wat wil zeggen dat deze groep geen normaaldelers heeft. Dit feit speelt een belangrijke rol in de onmogelijkheid om algemene algebraïsche vergelijking van graad of hoger op te lossen in radicalen.
Matrixgroepen Andere belangrijke groepen zijn de matrixgroepen of lineaire groepen. Hier is een verzameling voor een zekere die uit -inverteerbare matrices bestaat over een lichaam (Ned) / veld (Be) , en die gesloten is onder matrixvermenigvuldiging. Een dergelijke groep werkt door middel van lineaire transformaties op de -dimensionale vectorruimte . Hierdoor kunnen matrixgroepen met permutatiegroepen worden vergeleken. De meetkunde van de transformaties kan worden gebruikt om de eigenschappen van de groep vast te stellen.
Transformatiegroepen Permutatie- en matrixgroepen zijn speciale gevallen van transformatiegroepen: groepen die inwerken op een zekere ruimte en daarbij de structuur van die ruimte behouden. is in het geval van permutatiegroepen strikt genomen geen ruimte, maar een rij. Voor matrixgroepen is een vectorruimte.
De theorie van de transformatiegroepen vormt een verbinding tussen de groepentheorie en de differentiaalmeetkunde. Een lange lijn van onderzoek, beginnend met het werk van Lie en Klein, bestudeert groepsbewerkingen op variëteiten door middel van homeomorfismen of diffeomorfismen. De groepen zelf kunnen zowel discreet als continu zijn.
Abstracte groepen De meeste groepen die men in de eerste fase van de ontwikkeling van de groepentheorie bestudeerde, waren 'concreet', wat wil zeggen dat zij met behulp van getallen, permutaties of matrices werden opgebouwd. Het was aan het einde van de negentiende eeuw, dat het idee van een abstracte groep als een verzameling uitgerust met een operatie die moet voldoen aan een bepaald systeem van axioma's, ingang vond. Een typische manier om een abstracte groep te specificeren is door middel van een presentatie door generatoren en relaties,
Een belangrijke bron van abstracte groepen is de constructie van een factor- of quotiëntgroep , van een groep en een normaaldeler van . Klassegroepen van algebraïsche getallenlichamen behoorden tot de vroegste voorbeelden van factorgroepen. Zij waren van veel belang in de getaltheorie. Als een permutatiegroep op een verzameling is, werkt de factorgroep niet langer op , maar het idee van een abstracte groep laat toe dat daar geen problemen door ontstaan.
De verandering van perspectief van concrete naar abstracte groepen leidde ertoe eigenschappen van groepen te beschouwen die onafhankelijk zijn van een specifieke realisatie, of in moderne terminologie, invariant zijn onder isomorfismen, alsmede de bestudering van groepen met een bepaalde eigenschap: zoals eindige groepen, periodieke groepen, enkelvoudige groepen, oplosbare groepen. In plaats van de eigenschappen van individuele groepen te bestuderen, wilde men resultaten vaststellen die van toepassing zijn voor een hele klasse van groepen. Dit nieuwe paradigma was van groot belang voor de verdere ontwikkeling van de wiskunde: het was de voorbode van het ontstaan van de abstracte algebra in de werken van David Hilbert, Emil Artin, Emmy Noether en andere wiskundigen van hun school.
Topologische en algebraïsche groepen Een belangrijke verbreding van het groepsbegrip ontstaat wanneer wordt voorzien van een additionele structuur, met name van een topologische ruimte, een differentieerbare variëteit, of een algebraïsche variëteit. Als de groepsoperaties (vermenigvuldiging) en (inversie),
compatibel zijn met deze structuur, wat wil zeggen dat ze continue-, gladde- of reguliere, in de zin van de algebraïsche meetkunde, afbeeldingen zijn, wordt de groep een topologische groep, een Lie-groep, of een algebraïsche groepDit proces van het opleggen van extra structuur wordt geformaliseerd door de notie van een groepsobject in een geschikte categorie. Lie-groepen zijn dus groepsobjecten in de categorie van differentieerbare variëteiten en affiene algebraïsche groepen zijn groepsobjecten in de categorie van affiene algebraïsche variëteiten..
De aanwezigheid van een extra structuur relateert deze vormen van groepen aan andere wiskundige disciplines, waardoor het wiskundig gereedschap van deze disciplines beschikbaar komt. Topologische groepen vormen een natuurlijk domein voor de abstracte harmonische analyse, terwijl Lie-groepen, die vaak als transformatiegroepen worden gerealiseerd, de pijlers zijn van de differentiaalmeetkunde en unitaire representatietheorie. Bepaalde classificatievragen, die niet algemeen kunnen worden opgelost, kunnen worden benaderd en opgelost voor speciale deelklassen van groepen. Op deze wijze zijn compacte verbonden Lie-groepen volledig geclassificeerd. Er bestaat verder een vruchtbare relatie tussen oneindig abstracte groepen en topologische groepen: wanneer een groep kan worden gerealiseerd als een rooster in een topologische groep , levert de meetkunde en analyse met betrekking tot belangrijke resultaten over . Een relatief recente ontwikkeling in de theorie van eindige groepen maakt gebruik van hun relaties met compacte topologische groepen, met profiniete groepen: er bestaan bij een -adische analytische groep bijvoorbeeld quotiëntgroepen die eindige -groepen van de verschillende ordes zijn, en de eigenschappen van vertalen naar de eigenschappen van deze eindige quotiënten.
Verband tussen groepen en symmetrie Een symmetrie van een al dan niet gestructureerd object van welke aard ook, is een afbeelding van het object op zichzelf die de structuur behoudt. Alle mogelijke symmetrieën van bij elkaar vormen een groep, de symmetriegroep van . Voor een verzameling zonder bewerking is een symmetrie een bijectieve afbeelding van die verzameling op zichzelf. Symmetrieën geven aanleiding tot permutatiegroepen. Als het object een verzameling van punten in het platte vlak is met de bijbehorende definitie van afstand of enige andere metrische ruimte, is een symmetrie een isometrie, dat wil zeggen een bijectie van het object op zichzelf die de afstand tussen elk paar punten behoudt. De corresponderende groep wordt de isometriegroep van het object genoemd. Hoekgetrouwe projecties, dus afbeeldingen die de hoeken behouden, vormen samen ook een groep. Symmetrieën beperken zich niet tot meetkundige objecten, maar bestaan ook voor algebraïsche objecten, zoals veeltermen. Bij elke veelterm in een variabele behoort de groep van permutaties van de wortels, de galoisgroep.