thumb|,
De ongelijkheid van Hermite-Hadamard is een klassieke ongelijkheid met betrekking tot convexe functies. De ongelijkheid geeft een boven- en ondergrens voor de gemiddelde waarde van een convexe functie over een gesloten interval.
Charles Hermite merkte de ongelijkheid op in een brief van 22 november 1881 naar het toen pas opgerichte Belgische wiskundige tijdschrift Mathesis. De ongelijkheid werd in 1883 in een korte nota gepubliceerd,. Sur deux limites d'une intégrale définie, 1883. in Mathesis 3, blz 82 maar dat ging blijkbaar onopgemerkt voorbij. De linkerzijde van de ongelijkheid werd tien jaar later door Jacques Hadamard herontdekt en bewezen,. Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d’une fonction considerée par Riemann, 1893. in J. Math. Pures Appl 58, blz 171–215 maar Hermite werd daarbij niet genoemd. De nota van Hermite wordt in zijn verzamelde werken, uitgeven door Charles Émile Picard, en . Hermite and convexity, 1985. in Aequationes Mathematicae 28, blz 229-232 zelfs niet vermeld.
Hermite gebruikte als voorbeeld de functie op het interval .
Er zijn sedertdien diverse bewijzen van de ongelijkheid gepubliceerd evenals talrijke verfijningen, veralgemeningen en toepassingen.. A Dictionary of Inequalities, 1998. blz 122-123, Addison Wesley Longman Ltd.
Stelling Voor de convexe functie luidt de ongelijkheid:
De gemiddelde waarde in de integraal komt met de hoogte van een rechthoek overeen met basis en met dezelfde oppervlakte als die onder de grafiek van de functie tussen en . De linkerongelijkheid zegt dat de oppervlakte groter is dan die van de rechthoek met basis en als hoogte de functiewaarde in het punt in het midden van het interval . De rechterkant van de ongelijkheid zegt dat deze oppervlakte kleiner is dan die van het trapezium met de hoekpunten en in de figuur hiernaast.
De ongelijkheden zijn in omgekeerde richting geldig als concaaf is.
Voorbeeld De functie is een convexe functie. De gemiddelde waarde van de functie over het interval ligt volgens de ongelijkheid tussen en , dus tussen 2,25 en 2,5. De exacte waarde is
Hermite-Hadamard Categorie:Wiskundige analyse