thumb
Het hadamardproduct of schurproduct is in de wiskunde een bijzonder product van twee matrices met evenveel rijen en kolommen. Elk element in het hadamardproduct is het product van de overeenkomstige elementen in de twee matrices, zoals in de grafiek is weergegeven. Deze bewerking is naar de wiskundigen Jacques Hadamard en Issai Schur genoemd. De naam hadamardproduct voor deze bewerking schijnt voor het eerst in 1948 door Paul Halmos te zijn gebruikt. Andere auteurs hebben het product naar Issai Schur genoemd, die een aantal stellingen in verband met deze bewerking heeft bewezen. Het hadamardproduct wordt onder meer in de statistiek en multivariabele analyse gebruikt.. Hadamard Products and Multivariate Statistical Analysis, 1973. in Linear Algebra and its Applications 6, blz 217-240.
Definitie Van de matrices en met rijen en kolommen is het hadamardproduct, genoteerd als , de -matrix met als elementen:
Dus
Hierin zijn de elementen en reële of complexe getallen.
Het hadamardproduct verschilt duidelijk van de gewone matrixvermenigvuldiging. Men gebruikt om dit duidelijk te maken voor het hadamardproduct meestal het symbool , maar bijvoorbeeld in MATLAB . Alleen wanneer en diagonaalmatrices zijn, is het hadamardproduct gelijk aan de matrixvermenigvuldiging .
Voorbeeld Het hadamardproduct van de matrices en
is .
Eigenschappen Anders dan de matrixvermenigvuldiging is het hadamardproduct commutatief: . Het is distributief ten opzichte van de matrixoptelling: . Het is lineair: , waarin een constante is. Deze eigenschappen volgen rechtstreeks uit de eigenschappen van de vermenigvuldiging van reële of complexe getallen. De matrix voor het hadamardproduct zodat voor alle matrices is een matrix waarvan alle element gelijk aan 1 zijn. Deze wordt aangeduid als om verwarring met de eenheidsmatrix te vermijden. De hadamardinverse van een matrix , aangeduid als , bestaat alleen als elk element van verschilt van nul. Elk element van is de inverse van het corresponderende element van : . Dan is . De verzameling -matrices waarvan alle elementen verschillen van nul, vormt een abelse groep met als bewerking het hadamardproduct. Het hadamardproduct van twee positief-semidefiniete -matrices is ook positief-semidefiniet. Het hadamardproduct van twee positief-definiete matrices is ook positief-definiet. Een symmetrische matrix is positief-definiet dan en slechts dan als als het hadamardproduct van twee positief-definiete matrices kan worden geschreven. De Duitse wiskundige Issai Schur bewees dit voor het eerst in 1911.. Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlich vielen Veränderlichen, 1911. in Journal für die reine und angewandte Mathematik 140, blz 1-28 Als en twee positief-semidefiniete matrices zijn, geldt voor de determinant van hun hadamardproduct de ongelijkheid van Oppenheim:
Als en twee -matrices zijn, dan geldt voor de rang van hun hadamardproduct:
Als en twee -matrices zijn is het -de diagonaalelement van het matrixproduct gegeven door:
Hieruit kan men afleiden dat het spoor van gelijk is aan de som van alle elementen van het hadamardproduct .
Als en beide vierkante matrices zijn, is de som van de -de rij in gelijk aan het -de diagonaalelement van : .
Het hadamardproduct van twee -matrices en is een deelmatrix van het kroneckerproduct van en . De elementen van het hadamardproduct staan op de kruisingen van de kolommen en de rijen van het kroneckerproduct.
Categorie:Matrix