In de wiskunde is het -de taxicab-getal het kleinste natuurlijke getal dat op verschillende manieren als de som van twee positieve derdemachten kan worden geschreven.
Er zijn tot op heden zes taxicab-getallen gevonden, maar Pierre de Fermat heeft bewezen dat het er oneindig veel moeten zijn. De zes gevonden taxicab-getallen staan onderaan genoemd. Voor tot zijn bovengrenzen bepaald. Zo is bekend dat niet groter is dan 24 885 189 317 885 898 975 235 988 544.Christian Boyer: "New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi Numbers."
Herkomst De herkomst van de naam taxicab-getal gaat terug op een anekdote van Godfrey Harold Hardy, die met de taxi naar de zieke Srinivasa Aaiyangar Ramanujan was gekomen. Hardy's taxi had nummer 1729, wat hij een saai getal vond. Maar Ramanujan merkte op dat dit het kleinste getal was dat op twee verschillende manieren als de som van twee positieve derdemachten kan worden geschreven.Nul werd destijds niet tot de positieve getallen gerekend.
Inderdaad is .
Het getal 1729 staat nu bekend als het Hardy-Ramanujangetal. Het is het kleinste niet-triviale taxicab-getal.
Het probleem gaat terug tot Pierre de Fermat, die in 1657 de vraag formuleerde twee derdemachten te vinden waarvan de som gelijk is aan die van twee andere derdemachten. Dat zijn dus oplossingen van de diofantische vergelijking . Bernard Frénicle de Bessy vond hiervoor verschillende oplossingen, waarvan 1729 de kleinste was. Fermat bewees dat er voor elke getallen bestaan die op verschillende wijzen te schrijven zijn als de som van twee derdemachten. Er zijn dus oneindig veel taxicab-getallen.
Generalisatie Een gegeneraliseerd taxicab-getal is het kleinste natuurlijke getal dat op verschillende manieren als de som van -de machten kan worden geschreven.
Voor de gewone taxicab-getallen is en .
Leonhard Euler vond dat 635318657 = 594 + 1584 = 1334 + 1344. Dit is .
Een onopgelost vraagstuk is of voor bestaat, dus of er een natuurlijk getal bestaat dat op twee of meer verschillende manieren als de som van twee vijfdemachten kan worden geschreven. Als het bestaat, moet het groter zijn dan 1,024×1018.
Bekende taxicab-getallen
Categorie:Getaltheorie Categorie:Rij van gehele getallen