In de getaltheorie is de Von Mangoldt-functie een getaltheoretische functie, dus gedefinieerd op de positieve gehele getallen, opgesteld door en genoemd naar de Duitse wiskundige Hans von Mangoldt. De functie is alleen ongelijk aan 0 voor getallen die een macht van een priemgetal zijn, en heeft dan de waarde van de natuurlijke logaritme van dat priemgetal.
Definitie De Von Mangoldt-functie, meestal genoteerd als , is gedefinieerd door:
De waarden van de functie vormen een rij die begint met:
De exponenten van de functiewaarden zijn gelijk aan 1 of het enkele priemgetal waarvan het argument een macht is. Expliciet geldt:
waarin het kleinste gemene veelvoud voorstelt.
De waarden vormen de rij
die te vinden is als A014963 in OEIS.
De Von Mangoldt-functie is een belangrijk voorbeeld van een getaltheoretische functie die noch multiplicatief, noch additief is. De functie voldoet aan de volgende identiteit: .
De sommatie-index loopt dus over alle gehele getallen die deler zijn van . Dit resultaat is een gevolg van de hoofdstelling van de rekenkunde, aangezien de termen die geen macht van een priemgetal zijn, gelijk zijn aan 0. Stel bijvoorbeeld dat met priemfactoren .
Dan is:
.
De cumulatieve Von Mangoldt-functie, ook Chebyshev-functie, , is gedefinieerd als .
Von Mangoldt gaf een streng bewijs voor een expliciete formule voor met gebruikmaking van de som over de niet-triviale nulpunten van de Riemann-zèta-functie. Dit vormde een belangrijk deel van het eerste bewijs van de priemgetalstelling.
Zie ook Priemgetal-telfunctie
Externe links , Some remarks on the Riemann zeta distribution (2005) , Primes out of thin air (2010) , How plot Riemann zeta zero spectrum in Mathematica? (2012)
Categorie:Getaltheorie Categorie:Wiskundige functie