De Lüroth-expansie of Lüroth-ontwikkeling van een reëel getal uit het halfopen interval (0,1] is een rij van gehele getallen , alle groter dan of gelijk aan 2, zodat geschreven kan worden als een reeks van de volgende vorm:
Deze expansie werd in 1883 door de Duitse wiskundige Jacob Lüroth beschreven en onderzocht.J. Lüroth. Ueber eine eindeutige Entwicklung von Zahlen in eine unendliche Reihe. Math. Ann. (1883), vol. 21, blz. 411–423. Hij vond onder meer dat elk getal uit het halfopen interval (0,1] op een unieke wijze kan geschreven worden als een dergelijke reeks, en dat omgekeerd elke reeks van de vorm convergeert naar een getal uit (0,1]. De -de term in een Lüroth-reeks is immers kleiner dan of gelijk aan en gaat naar nul als naar oneindig gaat; dus convergeert de reeks. Er bestaat bijgevolg een een-op-eenrelatie tussen getallen uit (0,1] en rijen van gehele getallen groter dan of gelijk aan 2. Lüroth bewees ook dat elk rationale getal ofwel een eindige ofwel een periodieke Lüroth-ontwikkeling heeft, en dat elk irrationale getal een oneindige Lüroth-ontwikkeling heeft.
Voorbeeld: de Lüroth-reeks met coëfficiënten (2, 4, 6, 8, ...) convergeert naar het getal .
Berekening De coëfficiënten uit de reeksontwikkeling kunnen met het volgende algoritme worden berekend:
Stel Bereken voor (hierin is de entier-functie, dit is het grootste geheel getal dat niet groter is dan )
Stop wanneer het reciproke is van een natuurlijk getal; dan is Wanneer de gelijk is aan is de Lüroth-ontwikkeling periodiek.
Voorbeeld We berekenen de Lüroth-ontwikkeling van
De Lüroth-ontwikkeling van 11/18 is dus {2,5,3,2,3}:
Literatuur en . Lüroth series and their ergodic properties, 1696. in Indagationes Mathematicae (Proceedings) 72, 1, blz 31-42, ISSN 1385-7258, , , en , "Ergodic properties of generalized Lüroth series", Acta Arithmetica, vol. 74, nr. 4 (1996), blz. 311-327
Categorie:Breukexpansie